数字信号处理第二章程佩青.ppt

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1、第二章z变换学习目标掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域时域分析方法变换域分析方法：连续时间信号与系统Laplace变换Fourier变换离散时间信号与系统z变换Fourier变换一、z变换的定义及收敛域1.z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：z是复变量，所在的复平面称为z平面2、z变换的收敛域与零极点对于任意给定序列x(n)，使其z变换X

2、(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的充要条件是满足绝对可和1）有限长序列2）右边序列因果序列的右边序列，Roc:因果序列的z变换必在处收敛在处收敛的z变换，其序列必为因果序列3）左边序列4）双边序列给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1

3、、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：留数的计算公式单阶极点的留数：思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何2、部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：对各部分分式求z反变换：3、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数级数的系数就是

4、序列x(n)根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式三、z变换的基本性质与定理1、线性若则2、序列的移位若则3、乘以指数序列若则证：4、序列的线性加权（z域求导数）若则同理：5、共轭序列若则证：6、翻褶序列若则7、初值定理证：因

5、为x(n)为因果序列8、终值定理设x(n)为因果序列，且X(z)=ZT[x(n)]的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：9、有限项累加特性设x(n)为因果序列，即x(n)=0，n<0则nmm=n010、序列的卷积和（时域卷积和）设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：则且11、序列相乘（z域复卷积定理）若则且12、Parseval定理若则且四、序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系序列的z变换：连续时间信号的Laplace变换：连续时间信号的Fourier变换：1、序列的z变换&理想抽样信号的Laplace变换理想抽

6、样信号：其Laplace变换：其z变换：比较理想抽样信号的Laplace变换：得：z平面：（极坐标）即：是复平面s平面到z平面的映射：(直角坐标）s平面：抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换单位圆外部r>1右半平面σ>0单位圆内部r<1左半平面σ<0单位圆r=1虚轴σ=0Z平面S平面s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω=Ω0正实轴ω=0实轴Ω=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:2、序列的z变换&理想抽样信号的Fourier变换抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的Fourier变换Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。即:

7、s=jΩ映射到z平面为单位圆序列的Fourier变换单位圆上序列的z变换五、序列的Fourier变换及其对称性质序列的Fourier变换和反变换：若序列x(n)绝对可和，即则其Fourier变换存在且连续，是序列的z变换在单位圆上的值：若序列的Fourier变换存在且连续，且是其z变换在单位圆上的值，则序列x(n)一定绝对可和，将展成Fourier级数，其系数即为x(n)：序列的Fourier变换的对称性质定义：共轭对称序列：共轭反对称序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：其中：同样