高等代数考研复习多项式ppt课件.pptx

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1、高等代数考研复习第五章多项式2013年8月第五章多项式多项式理论是古典代数的主要内容.多项式的研究,源于“代数方程求解”,是最古老的数学问题之一.多项式理论是高等代数中较为独立的部分,本章复习内容分为三个部分：(1)多项式的整除及最大公因式(2)多项式的因式分解与重因式(3)常见数域上的因式分解问题1.多项式的整除及最大公因式1.1多项式的有关概念形如的表达式称为系数在数域P上的一元n次多项式，记称为多项式的次数.当n=0时且称为零次多项式，当时称为零多项式，零多项式不定义次数.次数公式：多项式的相等：两个多项式相等

2、当且仅当它们的次数相等，且同次项的系数相等.多项式的运算：多项式可以进行加法、乘法运算并满足交换律、结合律.乘法满足消去律即，若则1.2带余除法定理对任意的则一定存在使得且或这里称为商式，称为余式.余数定理：当时有，除所得余式为1.3多项式的整除(1)定义：对于多项式若存在多项式使得则称整除记为的充分必要条件为：当时称为多项式的根.(2)性质：a)b)且则c)且则d)若则多项式的整除与带余除法定理不因系数域的扩大而改变.题型：1)带余除法方法与综合除法例1设求除的商及余式.例2求除以的余式.例3将按的方幂展开.2）整

3、除的应用例4确定m、p的值，使例5证明：例6如果证明：例7若问是否有例8证明：如果则的根只能是零或单位根.1.4最大公因式1)定义:对任意多项式称为的一个最大公因式，如果：a)b)若是的任意公因式，都有表示首项系数为1的的最大公因式.2)最大公因式存在定理:对任意多项式一定存在他们的最大公因式并且3)最大公因式求法---辗转相除法依据：当最后余数为零时，上一次除法的余式为最大公因式.例求多项式的最大公因式,并且将最大公因式表示为的一个组合.1.5多项式的互素1)定义：若则称是互素的.2)互素的判别定理：互素的充分必要

4、条件是：存在多项式使得3)互素的性质:a)若且则b)若且则c)若则推论：若例1证明：例2设且证明：例3设不全为零，证明：例4如果证明：例5证明：能整除的充分必要条件是：n是偶数.2.多项式的因式分解与重因式2.1不可约多项式1)定义：数域P上一个次数的多项式如果不能表成数域P上的两个次数比次数低的多项式的乘积，称为P上的不可约多项式.2)性质：a)一次多项式一定是不可约多项式.b)是不可约多项式，则它的因式只有非零常数和c)若是P上的不可约多项式，对任意的必有或d)是P上的不可约多项式，若则或3)不同数域上的不可约多

5、项式类型a)在复数域上，不可约多项式只能是一次多项式.b)在实数域上，不可约多项式只能是一次多项式或判别式小于零的二次多项式.c)在有理数域上存在任意次的不可约多项式，如在有理数域上不可约.2.2多项式因式分解定理数域P上每个次数的多项式都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.(定理只具有理论意义！)标准分解式:数域P上每个次数的多项式都可以分解成2）利用标准分解式可求两个多项式的最大公因式.例已知，求2.3重因式及多项式的根1)重因式的定义：设是数域P上的不可约多项式，如果但是则称是的一个k重因式.当k=

6、1时，称为单因式，k>1时，称为重因式.2)重根：若但则称是的k重根.重因式依赖于数域.多项式有k重因式，不一定有k重根；反之，多项式有k重根必有k重因式！3)重因式的性质a)如果不可约多项式是的k重因式，那么也是的k-1重因式.反之不真，且的单因式不是的因式.例如b)如果是的k重因式，那么也是的因式，但不是的因式.c)是的重因式的充分必要条件是：是的公因式.即d)设的标准分解式为则即它与有完全相同的不可约因式.题型分析：这部分题目主要是对重因式与重根概念与性质的应用,只有深刻理解概念与性质，才可能处理好这些问题!例

7、1求有重因式的条件，并确定重因式.例2已知试确定p的值，使有重根，并求根.例3证明：没有重根.例4如果a是的一个k重因式，证明：a是的一个k+3重因式。例5证明：例6当正整数n取何值时，都有例7设若那么例7的应用，设为n次复系数多项式，且证明：有n+1重零根.例8证明：设是首项系数为1且次数大于零的多项式.那么是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：必有或对某一正整数m，有例9设都是次数不大于n-2的式系数多项式，证明：对任意数都有3常见数域上多项式的因式分解问题3.1复数域上的因式分解问题1)代数学基本定理：每个

8、次数大于等于1的复系数多项式在复数域上有一根.2)复系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于1的的复多项式在C上可以唯一地分解为一次因式的乘积.3.2实数域上的因式分解问题1)实系数多项式虚根成对定理：实系数一元多项式如果有虚根则也是这个多项式的根.2)实系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于1的的实多项式在R上可以唯一地分解为一次因式与二次