高等代数考研复习线性变换课件.ppt

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1、高等代数考研复习第七章线性变换2013年8月第七章线性变换线性变换是线性空间上的线性映射，反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系，它是线性函数的推广.本章主要内容分三部分：1)线性变换的概念、运算与线性变换的矩阵2)特征值特征向量与矩阵的相似对角化3)值域、核与不变子空间1、线性变换概念、运算与线性变换矩阵1.1线性变换定义：设V是数域P上的线性空间，A是V上的一个变换.如果对于任意的α,β∈V,k∈P都有A(α+β)=A(α)+A(β)，A(kα)=kA(α),则称A为空间V上的一个线性变换.说明:(1)如果对任意的α

2、∈V，A(α)=0，则称A为零变换.（2）如果对任意的α∈V，A(α)=α，则称A为V的恒等变换（也叫单位变换）.（3）A是V的线性变换的充分必要条件是：1.2线性变换性质：设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有(1)(2)(3)线性变换将线性相关的向量组变成线性相关的向量组.1.3线性变换的运算设V是数域P上的线性空间，是V上的线性变换.1)线性运算把线性变换的加法与数乘运算统称为线性变换的线性运算.a)加法运算定义则称仍是V的线性变换，并称它为与的和.b)数乘运算定义则称仍是V的线性变换，并称它为数乘线性变换.

3、说明：线性空间V上的所有线性变换对于线性变换的加法与数乘变换构成P上的线性空间,记为L(V).即对令是n维空间V的基，对任意的使得并且故L(V)与同构.因此，2）线性变换的乘法运算乘法运算的定义：设为线性空间V的线性变换，定义则称是V的线性变换，并称它为与的乘积.说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分配率，数乘结合律.但是不满足交换律.线性变换的方幂与多项式变换：n个线性变换的乘积称为的n次幂，记为即规定：当可逆时，规定一般地，但是3)逆变换逆变换的定义：设是线性空间V上的线性变换，如果存在V上的线性变换，使得其中是恒等变

4、换，则称是可逆的，并称是的逆变换，记为.逆变换的性质：(ⅰ)逆变换也是可逆的线性变换，且(ⅱ)线性变换可逆是是双射.4)线性变换的矩阵(ⅰ)两个线性变换相等如果线性空间V的线性变换与在V的基上的作用相同，即则(ⅱ)V上线性变换确定定理：设是线性空间V的一组基，是V中任一一组向量，则在V上一定存在一个线性变换使得确定线性变换的方法：任取则定义那么就是V上满足条件的线性变换.(ⅲ)线性变换的矩阵设是n维空间V的一组基，是V的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，即用矩阵表示就是称为线性变换在基下的矩阵.(ⅳ)线性变换的运算与矩阵

5、运算的关系：在线性空间V中取定一组基后，V上的线性变换与它在这组基下的矩阵之间是1-1对应的.因此线性变换的运算对应矩阵的运算，反之，矩阵的运算对应线性变换的运算.即设线性变换与在基下的矩阵分别为A和B,则a)b)c)d)可逆A可逆，且(ⅴ)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系：设与是线性空间V的两组基，且如果则反之，相似矩阵可看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.题型分析：(1)判别线性变换的可逆性；(2)确定线性空间上的线性变换；(3)求线性变换及其运算在基下的矩阵；例1在上定义线性变换分别为确定线性变换问是否可逆，若可

6、逆求出逆.例2设是V的基，是V的一个线性变换，证明：可逆是线性无关.例3设是n维线性空间V的线性变换，且证明：都是可逆的线性变换.例4在中求一个线性变换，使得并求例5设P是数域，定义变换：(1)证明：是线性空间的线性变换;(2)求在基下的矩阵.例6设中线性变换在基下的矩阵为又在基下的矩阵为求在基下的矩阵；求在基下的矩阵；若，求在基下的坐标.例7已知3维空间V的基和基又V上的线性变换满足(1)求在基下的矩阵.(2)求在基下的坐标.例8设是P上n维空间V的线性变换，如果证明：是V的一组基，并求在这组基下的矩阵.2、特征值、特征向

7、量与相似对角化2.1线性变换的特征值与特征向量的定义设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中的非零元素，使得则称为的一个特征值，是的属于特征值的特征向量.由的属于特征值的全部特征向量再添上零向量构成的集合也是V的一个子空间，称为的特征子空间.2.2线性变换的特征值特征向量与矩阵的特征值特征向量之间的关系设是数域P上n维空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A，则(1)A的特征值与的特征值相同；(2)如果是A的属于的特征向量,则是的属于的特征向量.反之亦然，即2.3特征值特征向量的求法：有限维线性空

8、间上求线性变换的特征值与特征向量可转化为求线性变换在某组基下所对应的矩阵的特征值与特征向量.(1)先求出在某组基下的矩阵A;(2)由可求得A的n个特征向量；(3)求齐次方程组的基础解系，得属于的线性无关的特征向量,则属于的线性变换的特征向量为2.4特征值特征向量的性质(1)若则的特征值分别