函数极限存在的条件ppt课件.ppt

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1、§3.3函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例一Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理一Heine归结原则——函数极限与数列极限的关系：证例如,2函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.Heine定理，又称归并原则一Heine归结原则——函数极限与数列极限的关系：Th3.8设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.注１．是数列，是数列的极限。所以的极限归结为数列的极限问题

2、来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，这个定理把函数可由数列极限的性质来推断函数极限性质。注２．从Heine定理可以得到一个说明不存在的方法，即“若可找到一个数列，，使得不存在；”或“找到两个都以为极限的数列使，都存在但不相等，则不存在.例1证明不存在.证令，，故当时没极限。即证明设即恒有再由则对上述有又故Th3.8设对都有要证用反证法若即但现取有满足即但此与矛盾证必要性在中任取序列，且，要证.，由，，时，有.使得当对于，由，，使得当时，有，时，有，即。于是当Th3.8的证明：充分性，如果不然，即时，不以为极限，则，，，使得.令，则，使得.对于序列，，，但显

3、然与条件矛盾。，，例1证二者不相等,注３．对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式。如当时有：定理3.9设函数在的某空心邻域内有定义，对任何以为极限的递减数列，有.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下:Th3.10设为定义在上的单调存在.有界函数，则右极限注：Th３.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若在上递增（减）有下（上）界，则存在，且；下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明.定理设在上定义，且单调上升，则存在且等于.无上界,规定,无下界,规定.注极限存在性

4、证令A=,当集合有上界时,，当它无上界时，.1),由上确界定义，,使得,取，则当时，由函数单调上升得,再由上确界定义,或,即。2)因集合无上界，对,使得.取，则当时,有,即，.类似地我们有:在定义，且单调下降,则关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明。.三Cauchy准则:Th3.11(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,证(利用Heine归并原则)(利用极限的定义)注：按照Cauchy准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意，存在使得.例：用Cauchy准则说明综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存

5、在的很方便的工具。不存在.取作业P551，2，3，4，6.小结一Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理三Cauchy准则: