齐次线性方程组课件.ppt

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1、第五章线性方程组第一节齐次线性方程组引入对n元m式齐次线性方程组则其矩阵形式为：若设则：1、当时，原方程组仅有零解；2、当时，原方程组有非零解.未知量的个数对于元式齐次线性方程组，若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为，一、齐次线性方程组解的判定定理定理1齐次线性方程组有非零解的充要条件是.即系数矩阵的秩小于未知量的个数.推论齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.二、齐次线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组解的性质定理2若是齐次线性方程组的一个解，则也是它的解，其中是任意常数.即齐次线性方程组的所有解组成的集合是一个向量空间，称其为解空间.定理3若是齐次线性方程组

2、的两个解，则也是它的解.由于向量空间中的任意向量，都可以由向量空间的基(极大无关组)来线性表示；因此，为了表示出线性方程组解空间里的每一个解，可以类似地在解空间中给出如下定义:定义设是齐次线性方程组的解，如果满足下面两个条件：1、线性无关；2、的任一个解都可由线性表示.则称是齐次线性方程组的一个基础解系.注1、由定义可看出，齐次线性方程组的基础解系事实上就是其解空间的基（极大无关组）.2、若为齐次线性方程组的一个基础解系，则的所有解就可表示为；为任意常数该结构形式的解称为通解（即全部解）.（2）齐次线性方程组基础解系的求法例1求解齐次线性方程组解对系数矩阵作初等行变换，有原方程组有非零解

3、可得同解方程组取为自由未知量为任意常数.则即为原方程组的一个基础解系.可得解则即为原方程组的一个基础解系.可得同解方程组取为自由未知量以上讨论中，是先求出齐次线性方程组的通解，再从通解中求得基础解系，实际上也可以先求得基础解系，再写出通解：1、自由未知量的个数=.2、非零行的非零首元对应未知量一般不选为自由未知量.故原方程组的通解为：即，为任意常数.定理4对齐次线性方程组，若，则存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为,即其解空间的维数为n-r.注求解齐次线性方程组的步骤：1、对系数矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；2、若（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即求解结束；若（未知

4、量的个数），则原方程组有非零解.进行以下步骤：3、继续将系数矩阵化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.例2求线性方程组的基础解系及通解解对系数矩阵进行初等行变换原方程组有非零解可得同解方程组取为自由未知量可得基础解系故原方程组的通解为：为任意常数.例3例4证例5已知，求一组非零向量，使得两两正交.解与正交的向量应满足方程，即其基础解系为把基础解系正交化，即为所求．亦即取