齐次线性方程组课件.ppt

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1、教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法作业重点基础解系及其求法、向量空间的基练习册P37－40第13题至第19题，期中交：P37－40难点方程组解的结构讲授方法媒体与投影讲授内容主线齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。内容概括齐次方程组的基础解系由n-r个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。班级：时

2、间：年月日；星期第十一讲：方程组解的解构与向量空间1第十一讲：方程组解的解构与向量空间本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，下次课讲第五章第一二节，下次上课时交作业P37～P402二、齐次线性方程组解的结构：1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理2.解向量的概念设有齐次线性方程组（1）设A=x=则（1）式可写成向量方程Ax=0（2）称为方程组（1）的解向量，它也是向量方程（2）的解.第十讲向量组的秩与方程组解的结构3第十讲向量组的秩与方程组解的结构2.解向量的性质性质1若为齐次方程组的解，则也是相应齐次方程组的解.证性质

3、2若为齐次方程组的解，k为实数，则k也是相应齐次线性方程组的解.证：3.AX=0的基础解系4第十讲向量组的秩与方程组解的结构4.求AX=0的基础解系－－AX＝0的通解：事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下5化A为行最简形矩阵为与A对应的方程组的同解方程组为令自由未知数则：第十讲向量组的秩与方程组解的结构6第十讲向量组的秩与方程组解的结构7巧得很，AX=0的通解正好是n-r个解向量的线性组合，如果这n-r个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解

4、系。事实上，我们有如下定理：（2）定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r第十一讲：方程组解的解构与向量空间8定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r证：第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：第二步：仍然是写出与A对应的齐次线性方程组的同解方程组第十一讲：方程组解的解构与向量空间9代入同解方程组依次可得：第十一讲：方程组解的解构与向量空间10第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:第十一讲：方程组解的解构与向量空

5、间11该定理的论证说明了两点：第十一讲：方程组解的解构与向量空间12第十一讲：方程组解的解构与向量空间134.齐次线性方程组的求解结论：根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.（3）齐次线性方程组(1)的任何n-r个线性无关的解向量都可作为它的基础解系.（1）当R(A)=n时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系;（2）当R(A)

6、的解构与向量空间14第十一讲：方程组解的解构与向量空间15第十一讲：方程组解的解构与向量空间16第十一讲：方程组解的解构与向量空间17（二）非齐次线性方程组的通解1.非齐次线性方程组的解向量的性质设有非齐次线性方程组（4）它也可写作向量方程（5）性质3的齐次线性方程组的解.（6）设及都是（5）的解，则为对应第十一讲：方程组解的解构与向量空间18证所以满足方程（6）.证即满足方程（5）.性质4设是方程（5）的解，是方程（6）的解，仍是方程（5）的解.则称上式为非齐次方程组AX=b的通解第十一讲：方程组解的解构与向量空间19第十一讲：方程组

7、解的解构与向量空间20第十一讲：方程组解的解构与向量空间21第十一讲：方程组解的解构与向量空间22二、向量组概念的拓展——空间的概念封闭：设V是一个集合，若V,则V；V,则称V对于加法及数乘运算是封闭的.定义1：设V为n维非空向量集合，及乘数两种运算封闭，且集合V对于加法则称集合V为向量空间.1.向量空间的定义定义2设有向量空间V1及V2，若V1V2，就称V1是V2的子空间.例1:齐次线性方程组的解集是一个向量空间.(解空间)第十一讲：方程组解的解构与向量空间23例2:非齐次线性方程组的解集,不是向量空间当解集S为空集时,不是向量空间;

8、当解集S非空时,也不是向量空间.结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。证：设V1,则可由线性表示，例3:设向量组与向量组等价，记试证第十一讲：方程组解的解构与向量空间24又可由线性表示，则可由线性表示，所