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1、专题二第一讲-三角函数的图像与性质--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第一讲三角函数的图像与性质例1、已知函数f(x)=tan(sinx)3（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调
2、区间；（3）判定方程f(x)=tan2π在区间（－π，π）上解的个数。3解：（1）∵－1≤sinx≤1∴－≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ333+(k∈Z)处无定义，且（－，）[－,]（－π,π），22233∴令sinx=±，则sinx=±3解之得：x=kπ±(k∈Z)3223∴f(x)的定义域是A={x
3、x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}3∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数22y=sinx的值域B满足（－，）B，∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。1322和x=2（2）由f(x)的定义域知，f(
4、x)在[0，π]中的x=处无定义。33设t=sinx，则当x∈[0,)∪（，2）∪（2，π）时，t∈[0,)333332∪(,]，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，3]上分2322别单调递增。又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,)332当x∈（3，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,]2323当x∈[，2)时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,]23323当x∈（2，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）3322∴f(x)=tan(13sinx)在区间[0，),（,]上分
5、别是单调递增函数；在332[,2),(2,)上是单调递减函数。233又f(x)是奇函数，所以区间（－，0]，[－，－3)也是f(x)的单调递2232增区间[,),(,]是f(x)的递减区间。332故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－2，－)，（－，333），（，]单调递减区间为[,2),(2,2),(2,)。323333（3）由f(x)=tan2π得：tan(sinx)=tan(2π)sinx=kπ+2π（k∈Z）33333sinx=k3+6(k∈Z)①又∵－1≤sinx≤1，∴332k3233∴k=0或k=－1
6、6当k=0时，从①得方程sinx=3当k=1时，从①得方程sinx=－3+66,sinx=－3+3显然方程6，在（－ππ）上各有2个解，故sinx=,33f(x)=tan2π在区间（－π，π）上共有4个解。3说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区3间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例2、设f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f()4，12（1）求、a、b的值；3（2）
7、若、为方程f(x)0的两个根，且、的终边不共线，求tan()的值。解：(1)f(x)22)，T，2，又f(x)的最大值absin(xf()4，4a2b2①，且4asin2bcos2②，121212由①、②解出a=2,b=3.(2)f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x)，f()f()0，34sin(2)4sin(23)，322k2，或22k(2)，3333即k(、共线，故舍去)，或k，6tan()tan(k)3(kZ).63说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例3、已知函数f(
8、x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图3,0)对称，且在区间0,象关于点M(42上是单调函数.求和的值。解：由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即sin(x)sin(x)，所以cossinxcossinx,cossinx0对任意x都成立，且0，所以得cos0，依题设0，所以解得.2由f(x)的图象关于点M对称，得f(3x)f(3x)，44取x0,得f(3)f(3),所以f(3)0,444f(3)sin(34)cos3，4244cos30,又0,得32k,k0,1,2⋯，4421),k0,1,2,⋯.(2k32,f(x
9、)sin(2x当k=0，)在[0,]上是减函数；3322当k=1，2,f(x)sin(2x2)在[0,]上是减函数；10,f(x)2当k2，sin(x)在[0,]上不是函数.322所以，合得2或2.3例4、已知函数f(x)cos2xπ，g(x)11
