高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值.doc

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1、§3.4函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。一、函数的极值1.极值的定义观察图3.11，可以发现，函数在点的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.图3.11定义3.3设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点（≠），恒有（或），则称是函数的极大值（或极小值），称是函数的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统

2、称为极值点.注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果是函数的极大值（或极小值），只是就邻近的一个局部范围内，是最大的（或最小的），而对于函数的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。（2）函数的极值只能在定义域内部取得。2.极值的判别法继续观察图3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。由此，有下面的定理.定理3.4(极值存在的必要条件)如果函数在点可导，且在处取得极值，则=0.证明从略。定义3.4使的点,称为函数的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却

3、不一定是极值点。例如，函数在点处的导数等于零，但如图1.3所示，不是的极值点。此外，函数在它导数不存在的点处也可能取得极值。例如，函数在点处不可导（参见§2.1例11），但如图1.4所示，在点取得极小值。归纳起来，一方面，函数可能取得极值的点是驻点和不可导点；另一方面，驻点和不可导点却又不一定是极值点。因此，若要求函数的极值，首先要找出函数的驻点和不可导点，然后判定函数在这些点是否取得极值，以及是极大值还是极小值。对此，参考图3.12和图3.13，可得下面的定理。图3.13图3.12定理3.5(判别极值的第一充分条件)设函数在点的某邻域内连续且可导(在处可以不可导)，则(

4、1)如果在点的左邻域内，；在点的右邻域内，，则函数在取得极大值；(2)如果在点的左邻域内，；在点的右邻域内，，则函数在取得极小值。证明从略。注：如果在点的两侧，保持同号，则函数在点没有极值。根据上述讨论，利用定理3.5求函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求，求出的驻点及不可导点；（3）用步骤（2）中求出的点将函数的定义区间划分为若干个子区间，确定在各个子区间的符号，确定极值点和极值。例1求函数的极值。解（1）函数的定义域为；（2），令，得驻点：，；（3）用和将定义域划分为三个区间：、、，列表确定的符号，函数的极值点和极值：表3.5-↗极大值↘极小

5、值↗所以，函数的极大值为，极小值为。当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下述定理来判定在驻点处是取得极大值还是极小值。定理3.6(判别极值的第二充分条件)设函数在点具有二阶导数，且，，则（1）当时，函数在点取得极小值；（2）当时，函数在点取得极大值。证明从略。注：定理3.5和定理3.6虽然都是判定极值点的充分条件，但在应用时又有区别.定理3.5对驻点和导数不存在的点均适用，定理3.6只对二阶导数存在且不为零的驻点适用，下列两种情形，定理3.6不适用：(1)不存在的点；(2),的点.这时，可能是极值点，也可能不是极值点.例2求函数＝的极值。解（1）的定义域为；

6、（2），；令,求得驻点，，，没有不可导点；（3）因为,所以在处取得极小值,极小值为;因为,用定理3.6无法判定，改用定理3.5判定。因为在的左右邻域内,所以在处没有极值；同理，在处也没有极值。综上所述，函数只有极小值.二、函数的最值函数的极值是函数在局部范围内的最大值或最小值，本节讨论函数在其定义域或指定范围上的最大值或最小值。1．闭区间上连续函数的最值由定理1.5知道，若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值与最小值。参照图3.11可知，函数的最值只能在驻点、不可导点、端点取得。因此，求闭区间上连续函数的最大值与最小值的方法如下：（1）求函数的定义域；（2）求，求出函数的

7、驻点以及不可导点；（3）计算在驻点、不可导点、端点的函数值，比较大小，即可得函数的最大值与最小值。例3求函数在上的最大值和最小值。解（1）指定的区间为；（2）令，得内的驻点为；（3），，，比较可得，函数的最大值为，最小值为。如图3.14、图3.15所示，如果函数在某个连续区间内只有唯一的极值点，可以断定，当是的极大(小)点时，就是函数在该区间上的最大(小)值,这是实际应用中经常遇到的情况.图3.15图3.142．实际问题的最值在实际应用中，常常会遇到求最大值或最小值的问题（称为最优化问题），比如，制作一个容积一定的容器，要求用