高等数学函数的极值与最值-第2节

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1、ABCDyoxy=f(x)ab函数的极值1.极值定义设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且对该邻域内任意的x值(xx0)，若恒有(1)f(x0)>f(x)，则称f(x)在点x0取得极大值f(x0)；(2)f(x0)

2、(x0)存在，则f(x0)=0。ABCDyoxab例如,注1：注2：极值点有可能是导数不存在的点又如,（极小值）xyOx0x0是极大值点f(x0)是极大值f(x0)=0f(x)>0f(x)<0xyOx0x0是极小值点f(x0)是极小值f(x0)=0f(x)<0f(x)>0极值第一充分条件：设函数f(x)在点x0的邻域内可导，且f(x0)=0或f(x0)不存在，当x由小变大经过x0时：(1)f(x)符号由正变负，则f(x)在x0点处有极大值f(x0)；(2)f(x)符号由负变正，则f(x)在x0点处有极小值f

3、(x0)；(3)f(x)符号不变，则f(x)在x0点无极值。换言之利用极值判定的第一充分条件，求可导函数y=f(x)极值的步骤：1.确定函数y=f(x)的定义域；2.求出函数的一阶导数f(x)；3.并求出全部驻点及导数不存在的点；4.考察f(x)在每个点左、右邻近的符号，从而确定此点是否是极值点；5.求出相应的极值;例1解列表讨论极大值极小值函数的定义域为例2解函数的定义域为因此，遇到一阶导数不存在的点，或驻点的二阶导数为零，只能用极值判定的第一充分条件来判断。例4极小值点极大值点极小值点例4总结可得求函数极值的一般方法：2

4、、求出一阶导数等于零或不存在的点；3、用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点;4、求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值。1、确定函数y=f(x)的定义域；综合可得判断函数单调区间及极值的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点;以这些特殊点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的开区间.4、按讨论结果,写出函数的单调区间；并求出函数的极大值和极小值.3、利用一阶导数的符号，判断函数的单调性;利用第一充分条件或第二充分条件来判别上述特殊

5、点（驻点或一阶导数不存在的点）是否为极值点，是极大值点还是极小值点；四、最值问题在很多学科领域与实际问题中，经常遇到在一定条件下如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题，这类问题我们称为最优化问题.在数学上，它们常归结为求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、最小值问题（简称为最值问题）．我们来看一下下面的几幅图：（1）求出函数f(x)在[a,b]上的所有驻点及一阶导数不存在的点处的函数值；（2）求出区间端点的函数值f(a)和f(b)；（3）以上函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值.求最值的方法：例5注意：

6、(1)、在闭区间上单调增加的连续函数，最小值必在区间的左端点取得；最大值必在区间的右端点取得.如果函数是单调减少的，则与此相反.(2)、如果连续函数在闭区间内只有一个极值，则它若是极大值便是最大值，若是极小值便是最小值.y=f(x)yoabxx0y=f(x)yoabxx0内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值练习题练习题答案