第5章-平面问题有限元分析-等参单元ppt课件.ppt

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1、第五章平面问题有限元分析等参单元曹国华5.1四节点矩形单元位移函数5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵5.3四节点矩形单元刚度矩阵5.4等参单元2021/9/171平面问题有限元分析-等参单元虽然三角形单元具有很好的“适应性”，几乎任何复杂边界的弹性体总可以划分为三角形，并且三角形单元计算公式简单，但精度较低。5.1四节点矩形单元位移函数三角形单元间虽然能够保证位移连续，但应力的精度较差，不能很好的反映弹性体内应力的准确分布规律。为了提高计算精度，准确反映弹性体内的应力状态，可以采用一些较精密的单元类型。本节将介绍常用的矩形单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移

2、模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。另外，对一些边界比较规则且呈直线的平面结构的分析，采用矩形单元较合适。这时单元总数可以减少，相应的原始数据准备工作和单元特征计算工作均可节省。2021/9/172平面问题有限元分析-等参单元如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的长、宽分别为2a、2b。矩形单元有4个节点，共8个自由度，即共有8个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同样可以完成对矩形单元的力学特性分析。5.1四节点矩形单元位移函数2021/9/173平面问题有限元分析-等参单元这里引入一个局部坐标系、，这样可以推出比较简洁的结果。如图所

3、示，取矩形单元的形心o为局部坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系式中：、——矩形形心处坐标。矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算5.1四节点矩形单元位移函数2021/9/174平面问题有限元分析-等参单元5.1四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)在局部坐标系中，节点i的坐标是，其值分别为±1。如节点1在局部坐标系下的坐标为（－1，－1）。2021/9/175平面问题有限元分析-等参单元由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有8个待定参数的位移模式，如下该函数称为双线性函数。

4、将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，85.1四节点矩形单元位移函数2021/9/176平面问题有限元分析-等参单元2021/9/177平面问题有限元分析-等参单元3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)5.1四节点矩形单元位移函数求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α7,α85.1四节点矩形单元位移函数2021/9/178平面问题有限元分析-等参单元式中：——矩形单元的形函数，i＝1，2，3，4；——形函数矩阵；——单元节点位移列阵，，i＝1，2，3，4。5

5、.1四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2021/9/179平面问题有限元分析-等参单元（i＝1，2，3，4）形函数的表达式为5.1四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)2021/9/1710平面问题有限元分析-等参单元引入符号，，i＝1，2，3，4，则上式可以统一写为可以看出，矩形单元的形函数具有和三角形单元形函数同样的性质，即：形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质；在单元内任意点上，四个形函数之和等于1；单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关。有关

6、证明过程比较简单，请自行推导。5.1四节点矩形单元位移函数2021/9/1711平面问题有限元分析-等参单元有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求出单元内任意点的应变，将位移代入几何方程，得式中的应变转换矩阵的子块（i＝1，2，3，4）为5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵2021/9/1712平面问题有限元分析-等参单元5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵2021/9/1713平面问题有限元分析-等参单元求得应变之后，再将应变代入物理方程，便可推导出以节点位移表示的应力，如下式中，应力矩阵为其子块（i＝1，2，3，4）为5.2应四节点矩形单元变与应力矩阵20

7、21/9/1714平面问题有限元分析-等参单元由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相当于xy项），把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从的表达式中看出。另外四边形单元的位移模式中的与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上(=±1或=±1)，位移是按线性变化的，显然在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵2021/9/1715平面问题有限元分析-等参单元由单元的应力矩阵表达式还可以看