第4章 矩形单元及等参单元(有限元分析)

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1、第4章矩形单元及等参单元机械与汽车工程学院SchoolofMechanicalandAutomobileEngineering第4-1节矩形单元1、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程，建立坐标系，如下图：klmnaabb1）位移函数（双线性函数）假设8个节点的位移已知，通过插值来求单元内任一点的位移u(x,y)、v(x,y)具体求解可参照三角形单元。2)单元应力和应变由于[B]中元素是坐标的线性函数，所以在单元内部应变线性变化。（比较3节点三角形单元）则应力向量可以表示为：[B]、[S]均不是常数矩

2、阵，而是x、y的线性函数。因此矩形单元的精度比三角形三节点单元更高。3）单元刚度矩阵两种常用的载荷：（1）对于单元自重W，移置到每个节点上的载荷都等于W/4；（2）如果一个边界上受有三角形分布的表面力，且在一个节点处为零，另一个节点处为最大，那么可将总表面力的1/3移置到前一个节点，1/3移置到后一个节点。六节点三角形单元在三角形单元i、j、k的每一边上增加一个节点i’、j’、k’，使每个单元具有六个节点，12个自由度，采用完全二次多项式的位移模式：第4-2节等参单元1、等参单元的概念三角形单元适应性强，易于网格划分和逼近边界形状，

3、缺点是位移模式为线性函数，单元应力和应变均为常数，精度不理想。矩形单元位移模式为双线性函数，单元应力、应变是线性变化的，精度较高，形状规整，便于自动分网；缺点是不能适应曲线边界和斜边界，不能随意改变大小。等参单元：既能很好的适应曲线边界和准确的模拟结构形状，又具有较高次的位移模式，能够反映结构的复杂应力分布情况。等参单元的基本思想：首先推导出局部坐标下的规则单元（称为母单元）的形函数，其次利用形函数进行坐标变换，从而推导出整体坐标下的不规则单元（称为子单元）的形函数和单元刚度矩阵。在等参单元中坐标变换和位移模式使用相同的节点数。ji

4、kyxPPijPikPjkLi+Lj+Lk=1x=Lixi+Ljxj+Lkxky=Liyi+Ljyj+Lkyk注意到：面积坐标下Ni=Li等，故坐标变换和位移模式采用了相同的形函数(等参变换！)。面积坐标将xy坐标系下的实际单元经过坐标变换(映射)，成为ξη平面上以原点为中心，边长为2的正方形单元。ξ、η是一种局部坐标，它只应用于单元范围内，而x、y是整体坐标，它适用于所有单元。平面四结点任意四边形等参数单元介绍222341xy1234并设i点的(全局)坐标为：(xi,yi)，则222341xy1234ξ,η是

5、局部坐标，ξi,ηi是节点的局部坐标。x,y全局坐标和ξ,η局部坐标之间关系（映射）。特例验证222341xy1234取ξ=0,η=1看右图3，4节点所在边中点，映射后在左图中是否对应？同理注意：4节点矩形单元位移模式反映了单元的常应变和刚体位移。结论右图3，4节点所在边中点，映射后在左图中也是3，4节点所在边中点！该映射可以将xy坐标系下任意四边形单元转换成为ξη平面上以原点为中心，边长为2的正方形单元。222341xy1234平面四结点任意四边形等参数单元的位移模式三角形和矩形单元可以写出刚度显式表达式(其中有矩

6、阵[N]、[B]、[D]和单元面积等)，但对于等参元，由于两套坐标的转换，导致刚度、荷载的被积表达式十分复杂！必须专门讨论！平面四结点任意四边形等参数单元特性分析在等参单元中，求矩阵[B]时应将矩阵[N]的元素对x,y求偏导数，由于两套坐标的转换，需求复合函数导数写成矩阵形式：其中：称作雅可比矩阵式中：因此，可求得应变矩阵[B]和单元应变[]及应力根据虚功原理，单元刚度矩阵：上式中，被积函数较复杂，一般采用高斯积分法完成。