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1、《基本不等式》·人教版必修五数学PPT课件·XX老师目录重要不等式1基本不等式2有关常用理论3例题学习4重要不等式1当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.1.重要不等式(1)公式中a,b的取值是任意的,a和b代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此其应用范围比较广泛.今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化,使之可以利用该公式来证明.(2)公式中a2+b2≥2ab常变形为ab≤或a2+b2+2ab≥4ab或2(a2+b2)≥(a+b)2等形
2、式,要注意灵活掌握。基本不等式22.基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把叫做正数a,b的算术平均数,把叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即,当且仅当a=b时,等号成立.2.基本不等式(3)几何意义:半弦不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则OD=,DC=DE,则DC≤OD.(4)变形:ab≤,a+b≥2(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).2.基本不等式从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差
3、中项,几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项.【做一做2】已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值为.答案:81.应用基本不等式求最值的条件剖析:应用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相”等,具体如下:2.基本不等式一正:a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.例如,当x<0时,函数f(x)=x+≥2=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+=-<2,那么显然这是一个错误的答
4、案.其原因是当x<0时,<0,不符合基本不等式中a,b均为正数.因此,利用基本不等式求最值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+≥2=2,此时有f(x)≤-2.由此看,所求最值的代数式中的各项都是负数时,经过变形,先转化为各项都是正数的代数式,再求最值.2.基本不等式二定:ab与a+b有一个是定值.即当ab是定值时,可以求a+b的最值;当a+b是定值时,可以求ab的最值.如果ab和a+b都不是定值,那么就会得出错误的答案.例如,当x>1时,函数
5、f(x)=x+≥2,所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是忽视了基本不等式中ab与a+b有一个是定值.其实,当x>1时,有x-1>0,则函数f(x)=x++1≥2+1=3.由此看,当ab与a+b没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式.2.基本不等式2.基本不等式三相等:等号能够成立,即存在正数a,b使基本不等式两边相等.如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如,当x≥2时,函数f(x)=x+≥2=2,所以函数f
6、(x)的最小值是2.很明显x+中的各项都是正数,积也是定值,但是等号成立的条件是当且仅当x=即x=1,而函数的定义域是x≥2,所以这是一个错误的答案.其原因是基本不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验,遇到这种情况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.利用函数单调性的定义可以证明,当x≥2时,函数f(x)=x+是增函数,所以函数f(x)的最小值是f(2)=2+.有关常用理论33.有关常用理论剖析:(1)已知x,y∈R,①若x2+y2=S(平方和为
7、定值),则xy≤,当且仅当x=y时,积xy取得最大值;②若xy=P(积为定值),则x2+y2≥2P,当且仅当x=y时,平方和x2+y2取得最小值2P.3.有关常用理论(2)已知x>0,y>0,①若x+y=S(和为定值),则xy≤,当且仅当x=y时,积xy取得最大值;②若xy=P(积为定值),则x+y≥2,当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2.例题学习44.例题学习【例1】当a,b为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是()A.B.C.D.比较大小题型一4.例题学习解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴,
8、∵a2+b2>2ab,∴,∴选项A,B,C中,最小.∴选项A,B,C中,最小.又a+b>2>0,∴<1,由于>0,两边同乘以,得,∴,∴最小.答案:D4.例题学习【例2】已知a>3,求+a的最小值.分析:直接使用基本不等式无法约掉字母a,而+a=+(a-3)+3.这样变形后,再用基本不等式可得证.利用基本不等式求最值题型二4.例题学习解:∵a>3,∴a-3>0.由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2·+3=2×+3=7.当且仅当=a-3,即
