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1、复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E，对于E中的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应，则说在点集E上定义了一个复变函数，记作：wf(z)，点集E叫作函数的定义域令：wf(z)uiv，并将zxiy代入，则有：zxiywf(z)u(x,y)iv(x,y)wf(z)uiv初等复变函数：zxiyxiyx指数函数：eeeee(cosyisiny)1izizsinzcosz三角函数：sinzee,tanz,cotz2icoszsinz1）因为sin(z2)sinz，cos(z2)cosz，所以sinz，cosz具有实周期22）sinz，cosz为无界函数。3）cos(
2、z1z2)cosz1cosz2sinz1sinz222sinz(1z2)sinz1cosz2cosz1sinz2sinzcosz11zz1zzshz双曲线函数：shzee，chzee，thz22chz对数函数：wuivLnzlnziArgzLnzlnziArgz幂函数：zeee（为复常数）zzLnzlnziArg一般指数函数：eee（为复常数）复变函数的导数：设函数wf(z)是在区域E上定义的单值函数，对于E上的某点z，如wf(zz)f(z)果极限limlim存在，则称函数wf(z)在点z处可导，此极限叫作z0zz0z函数wf(z)在点z处的导数，表示为:wf(zz)f(z)df(z)l
3、imlimf(z)z0zz0zdz复变函数可导的充要条件：复变函数wf(z)u(x,y)iv(x,y)可导的充要条件是偏导数1u(x,y)u(x,y)v(x,y)v(x,y)，，，存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：xyxyu(x,y)v(x,y)u(x,y)v(x,y)，xyyx解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数f(z)在z0点及其邻域内处处可导，那么称f(z)在z0点解析。如果f(z)在区域E内每一点都解析，那么称f(z)在E内解析，或称f(z)为E内的一个解析函数。注：f(z)在某点z0解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，
4、而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.●设给定二元调和函数u(x,y)，作为解析函数f(z)uiv的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。vv设二元函数v(x,y)的全微分式为：dvdxdyxyuu考虑柯西-黎曼条件可得：dvdxdyyxv(x,y)的三种计算方法：（1）曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出uu（2）凑全微分显式法：把dvdxdy凑成全微分的显式，求出v(x,y)。yx（3）不定积分法22例题.已知解析函数f(z)的实部u(x,y)xy，求虚部和这个解析函数2
5、222u(x,y)u(x,y)容易验证u(x,y)xy为调和函数：22022xyv(x,y)u(x,y)v(x,y)u(x,y)由柯西-黎曼条件可得：2y2xxyyxvv所以有：dvdxdy2ydx2xdyxy(1)曲线积分法：2y(x,y)O(x,0)x图1取如图1所示的积分路径，可求出积分(x,0)(x,y)(x,y)v2ydx2xdy2ydx2xdyC2ydx2xdyC2xyC(0,0)(x,0)(x,0)其中C为积分常数。vv(2)凑全微分显式法：dvdxdy2ydx2xdyd(2xy)xy所以有;v2xyCv(x,y)v(x,y)(3)不定积分法：2x，2yyxv(x,y)把x
6、视为参数，2x对y积分可得：v2xdy(x)2xy(x)y对v2xy(x)求偏导数v2y(x)xv(x,y)与2y向比较可得：(x)0(x)Cx所以由v2xdy(x)2xy(x)可得：v2xyC222所以有：f(z)u(x,y)iv(x,y)(xy)i(2xyC)ziCzzzz可把x,y代入上式求出22i复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：f(z)dz[u(x,y)iv(x,y)](dxidy)u(x,y)dxv(x,y)dyiv(x,y)dxu(x,y)dyllll若曲线l由参数方程xx(t)，yy(t)，t1tt2给出则有dzdxidyz(t)dtx(t)dti
7、y(t)dt，可得积分的计算公式3t2f(z)dz[u(x,y)iv(x,y)](dxidy){u[x(t),y(t)]iv[x(t),y(t)]}z(t)dtllt1t2{u[x(t),y(t)]iv[x(t),y(t)]}[x(t)iy(t)]dtt1tt22{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dti{v[x(t),y(t)]x(t)u[x(t),y(t)]y(t)}dtt1t1高阶导数公式设f(
