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1、'.习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：1i（1）（2）32i(i1)(i2)13i821（3）（4）i4iii1i132i解：（1）z，32i1332因此：Rez,Imz，13131232z,argzarctan,zi1331313ii3i（2）z，(i1)(i2)13i1031因此，Rez,Imz，10101131z,argzarctan,zi103101013i33i35i（3）zi，i1i2235因此，Rez,Imz，3234535iz,argzarctan,z232821（4）zi4ii14ii13i因
2、此，Rez1,Imz3，z10,argzarctan3,z13i2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）13i（3）r(sinicos)（4）r(cosisin)（5）1cosisin(02)i2解：（1）icosisine22;.'.222i3（2）13i2(cosisin)2e33()i2（3）r(sinicos)r[cos()isin()]re22i（4）r(cosisin)r[cos()isin()]re2（5）1cosisin2sin2isincos222i22sin[cosisin]2sine22223．求下列
3、各式的值：5100100（1）(3i)（2）(1i)(1i)2(13i)(cosisin)(cos5isin5)（3）（4）3(1i)(cosisin)(cos3isin3)3（5）i（6）1i55解：（1）(3i)[2(cos()isin())]665552(cos()isin())16(3i)6610010050505051（2）(1i)(1i)(2i)(2i)2(2)2(13i)(cosisin)（3）(1i)(cosisin)2[cos()isin()](cosisin)332[cos()isin()][cos()isin()]4
4、42[cos()isin()](cos2isin2)1212(2)i122[cos(2)isin(2)]2e1212;.'.2(cos5isin5)（4）3(cos3isin3)cos10isin10cos19isin19cos(9)isin(9)（5）33icosisin2231i,k0221131cos(2k)isin(2k)i,k1323222i,k2（6）1i2(cosisin)44i484112e,k02[cos(2k)isin(2k)]2424i482e,k11iz14．设z1,z23i,试用三角形式表示z1z2与2z2解：z
5、cosisin,z2[cos()isin()]，所以124466zz2[cos()isin()]2(cosisin)，1246461212z11155[cos()isin()](cosisin)z224646212125．解下列方程：544（1）(zi)1（2）za0(a0)5解：（1）zi1,由此;.'.2ki55z1iei，(k0,1,2,3,4)4444（2）zaa(cosisin)11a[cos(2k)isin(2k)]，当k0,1,2,3时，对应的444aaaa个根分别为：(1i),(1i),(1i),(1i)2222xy6．证
6、明下列各题：（1）设zxiy,则zxy222证明：首先，显然有zxyxy；22其次，因xy2xy,固此有2222(xy)(xy),xy22从而zxy。2222（2）对任意复数z1,z2,有z1z2z1z22Re(z1z2)22证明：验证即可，首先左端(xx)(yy)，12122222而右端xyxy2Re[(xiy)(xiy)]11221122222222xyxy2(xxyy)(xx)(yy)，112212121212由此，左端=右端，即原式成立。nn1（3）若abi是实系数代数方程azazaza001n10的一个根，那么abi也是它的一个
7、根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算nnnn1规则，z(z)，由此得到：a(z)a(z)aza001n10由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。ab（4）若a1,则ba,皆有a1ab;.'.证明：根据已知条件，有aa1，因此：ababab1a，证毕。1abaaab(aa)baab（5）若a1,b1，则有11ab222证明：ab(ab)(ab)ababab，2221ab(1ab)(1ab)1ababab，因为a1,b1，所以，222222abab1(1a)(b1)0，22ab因而ab1a
8、b，即1，结论得证。1abn7．设z1,试写出使za达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a为复数。nn解：首先，由复数的三角不等式有zaza1a，nn在上面两个不等式都取等号时za达到最大，
