《电动力学》第25讲 §45 格林函数法.ppt

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1、《电动力学》第13讲第二章静电场（5）§2.5格林函数法教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2015年10月27日山东大学物理学院宗福建2上一讲复习拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。山东大学物理学院宗福建3上一讲复习拉氏方程在球坐标系中的通解为式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。Pmn(cosθ)

2、为缔和勒让德(Legendre)函数。山东大学物理学院宗福建4上一讲复习若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。山东大学物理学院宗福建5上一讲复习Pn（cosθ）为勒让德函数山东大学物理学院宗福建6上一讲习题解答：补充题：用分离变量法求解接地金属球外一个点电荷的势，和电像法相比较，并证明其两个解是完全相同的。山东大学物理学院宗福建7上一讲习题解答：由Q和镜像电荷Q‘激发的总电场能够满足在导体面上φ=0的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点的距离，

3、r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ为OP与OQ的夹角。r’rP山东大学物理学院宗福建8上一讲习题解答：如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ。rP山东大学物理学院宗福建9上一讲习题解答：由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解为：rP山东大学物理学院宗福建10上一讲习题解答：在金属球壳表面：rP山东大学物理学院宗福建11上一讲习题解答：考虑到：rP山东大学物理学院宗福建12上一讲习题解答：则：rP山东大学物理学院宗福建13

4、上一讲习题解答：则：rP山东大学物理学院宗福建14上一讲习题解答：则：r’rP山东大学物理学院宗福建15本讲主要内容1、格林公式和边值问题的解2、点电荷密度的δ函数表示3、格林函数无界空间的格林函数上半空间的格林函数球外空间的格林函数4、例题山东大学物理学院宗福建16§2.5格林（GREEN）函数法由§2.2唯一性定理，设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定（1）电势φ

5、s或（2）电势的法向导数∂φ/∂n

6、s，则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的φ或∂φ/∂n

7、值。山东大学物理学院宗福建17§2.5格林（GREEN）函数法对第1类边值问题，给定电势φ

8、s，求V内的势：设区域V内有两个函数φ（x）和ψ（x），有格林公式，式中n为界面S上的外向法线。山东大学物理学院宗福建18§2.5格林（GREEN）函数法格林公式的证明如下：山东大学物理学院宗福建19§2.5格林（GREEN）函数法格林公式对任意函数φ（x）和ψ（x）都适用。取φ（x）满足泊松方程，ψ（x）为格林函数，得山东大学物理学院宗福建20§2.5格林（GREEN）函数法得山东大学物理学院宗福建21§2.5格林（GREEN）函数法得山东大学物理学院宗福建22§2.5格林（GREEN

9、）函数法只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ

10、S值，就可以算出区域内的φ(x)，因而第1类边值问题完全解决。山东大学物理学院宗福建23§2.5格林（GREEN）函数法对第2类边值问题，给定电势əφ/ən

11、s，求V内的势：设区域V内有两个函数φ（x）和ψ（x），有格林公式，式中n为界面S上的外向法线。山东大学物理学院宗福建24§2.5格林（GREEN）函数法格林公式对任意函数φ（x）和ψ（x）都适用。取φ（x）满足泊松方程，ψ（x）为无界空间单位点电荷的格林函数，得山东大学物理学院宗福建25§2.5格林（GREEN）函数法满足上式最简单的边界条件为：其中S是界面的

12、总面积。山东大学物理学院宗福建26§2.5格林（GREEN）函数法其中<φ>S是电势在界面上的平均值。山东大学物理学院宗福建27§2.5格林（GREEN）函数法只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ

13、S值，或者əφ/ən

14、s，就可以算出区域内的φ(x)，因而边值问题完全解决。山东大学物理学院宗福建28§2.5格林（GREEN）函数法2、点电荷密度的δ函数表示点电荷是电荷分布的极限情况，它可以看作一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。若电荷分布于小体积ΔV内，当体积ΔV→0