高等代数 矩阵ppt课件.ppt

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1、矩阵一.矩阵的概念二.矩阵的运算三.方阵的行列式四.可逆矩阵分块矩阵五.矩阵的初等变换1由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作第一节矩阵1.矩阵概念2简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.3例如是一个3阶方阵.2.几种特殊矩阵(1)方矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一行的矩阵(2)行矩阵,列矩阵4元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如(3)零矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).5称为对角矩阵(或对角阵）.形如的方阵,不全为0(4)对角阵(6)数量阵全相等

2、6(7)单位阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1(8)三角阵72.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.3．同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.8例设解9１、定义第二节矩阵的运算一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和,记作，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.10例如112、矩阵加法的运算规律121、定义二、数与矩阵相乘13例142、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）15１、定义三、矩阵与矩阵相乘设注意只有当第一个矩阵的列数等于第二

3、个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.其中16例１设例217故解18注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例3不存在.19例4计算下列乘积：解20解=(）21２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;22注意1.矩阵乘法不满足交换律，即：例设则23但也有例外，比如设则有称A与B为可交换矩阵24注意2.矩阵乘法不满足消去律，即：例设25注意3例设26注意4例设27注意5例设28注意6例设29例1.设矩阵A与矩阵B都与矩阵C可交换.试证:证:∵矩阵A与矩阵B都与矩阵C可交换.∴AC=CA,BC=CB∴(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)∴A+B

4、与矩阵C可交换.又(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)A+B与AB都与矩阵C可交换.∴AB与矩阵C可交换.30例2.设矩阵求与A可交换矩阵.解:31四、矩阵的幂２、矩阵幂的运算规律规定注意1.定义:设A为n阶矩阵,对于正整数m,有32例1解:33解例234由此归纳出35用数学归纳法证明当时，显然成立.假设时成立，则时，36所以对于任意的都有37例3解:3839例４解:40例５解:4142例６解:43１．定义把矩阵　的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例五．矩阵的转置44２．转置矩阵的运算性质45例１已知解法146解法247

5、对称阵与反对称阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明48证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.例1证明对任一阶矩阵,为对称阵为反对称阵.49例２设列矩阵满足证明50例３证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.51１．定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或２．运算性质第三节方阵的行列式52例１．A为三阶方阵，计算　　　　的值．解:例２A为n阶方阵，

6、A

7、=2.计算　　　　　的值．解:53例3计算

8、A

9、的值解:54例4计算

10、A

11、的值．解

12、:5556例5计算

13、AB

14、的值．解:57一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.第四节矩阵的分块58二、分块矩阵的运算规则59606162分块对角矩阵的行列式具有下述性质:63分块三角矩阵的行列式具有下述性质:6465例1设解66则67又68于是69例270其中其中717273一、逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.使得例设1.74定理1矩阵可

15、逆的充要条件是，且其中行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵.性质75推论证明76例1求方阵的逆矩阵.解同理可得77故78解例２798081解例３8283842.逆矩阵的运算性质85二.伴随矩阵的性质86例1.设87例2设A为三阶方阵,88课堂练习8990三、逆矩阵的应用1.伴随矩阵法例１设解91于是92解给方程两端左乘矩阵例293解例39495例4解9697例１2.定义法9899例2EEBEA=--))((EEBEBA=---)()(100例3101102例4103例51043.利用性质法