高等代数 3.4 矩阵的秩.ppt

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1、第四节矩阵的秩一、矩阵的行秩、列秩、秩定义的秩称为矩阵A的行秩；则矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的列秩.矩阵A的列向量组设引理如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的行秩，那么它有非零解．（若(1)只有零解，则）定理4矩阵的行秩＝矩阵的列秩．证明：设，A的行秩＝r，A的列秩＝r1，下证．先证．则向量组　　　　　的秩为r，不妨设是它的一个极大无关组，于是线性无关，设A的行向量组为即（2）只有零解.只有零解.所以方程组由引理，方程组（2）的系数矩阵（未知量的个数）.的行秩是r个线性无关的行向量，中一定可以找到r个线性无关的向量.从而在矩阵　的行向

2、量组不妨设则该向量组的延伸组于是矩阵A的列秩．同理可证.所以．也线性无关．A的列向量矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作秩A或　、定义注②设　　　　　，则若　　　　　则称A为行满秩的；若　　　　　则称A为列满秩的.①若　　　，则二、矩阵秩的有关结论定理5设　　　　　，则(降秩矩阵)(满秩矩阵)证：若n＝1，则A只有一个一维行向量0，的n个行向量线性相关.从而A＝0，若n＞1，则A的行向量中至少有一个能由其余行向量线性表出，依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.从而在行列式　中，用这一行若n＝1，由　　　知，对n作数学归纳法.

3、A＝0，从而假若对n－1级矩阵结论成立，下证n级的情形.设　　　　　，为A的行向量.考察A的第一列元素:若它们全为零，则若它们有一个元素不为零，不妨设则　的第2至n行减去第1行的适当倍数后可为其中由　　　知，由归纳假设，矩阵　　　　　　的秩＜n－1，从而向量组线性相关，故在不全为零的数　　　　　使改写一下，有线性相关不全为零的n个数推论1齐次线性方程组有非零解系数矩阵的行列式=0只有零解线性相关行列式线性无关行列式n个n维向量推论2定义k级子式在一个s×n矩阵A中任意选定k行k列个元素按原来次序所组成的k级行列式，称为矩阵位于这些行和列的

4、交点上的A的一个k级子式．注矩阵A的k级子式共有　　　个.有一个级子式不为0.个级子式不等于0，且所有级子式等于0．定理6矩阵的秩为的充要条件是　中有一注①的所有级子式等于0；②若　　　　则的不为0的　级子式所在行(列)就是A行(列)向量组的一个极大无关组.则A的任意　　个行向量由定理5的推论2，证：设都线性相关，从而A的任意　　级子式的行向量也线性相关.A的　　级子式全为0.下证A至少有一个　级子式不为0.设因为所以A有　个行向量线性无关，不妨设A的前　个行向量线性无关，作矩阵则行列式显然　的行秩为　，从而　的列秩也为　，不妨设在　中前

5、　列线性无关，此即A的一个级非零子式.若A的所有级子式全为0，所有级数大于　的子式全为0.则A的设由必要性,不可能有否则A的级子式全为0.同样,不可能有否则A有　　　级子式不为0.