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1、第七节空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理三年4考高考指数:★★1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.2.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标表示.4.掌握空间向量数量积的坐标表示.1.空间直角坐标系是用向量法解决立体几何问题的基础,属了解内容,一般不单独命题.2.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、夹角、距离问题的基础.3.通过求空间点的坐标考查空间想象能力,通过求两点间距离考
2、查计算能力.4.空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择题或填空题为主.1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的建立(如图)(ⅰ)坐标系为_____系;右手②③①④·(ⅱ)④指_____,记为__;(ⅲ)①指__轴,②指__轴,③指__轴;(ⅳ)①和②,②和③,③和①确定的平面分别指____平面,____平面,____平面.(2)空间直角坐标系中的点的坐标表示类似于平面直角坐标系中的点的坐标表示,在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置,任意一点P的坐标记为_______.原点
3、OxyzxOyyOzxOz(x,y,z)【即时应用】(1)思考:空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：三个坐标平面把空间分为八部分.(2)xOz平面内点的坐标的特点是________.【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖不确定.答案：纵坐标为0(3)在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴的对称点坐标为______________.【解析】关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.答案：(-5,-3,-1)2.空间两点间的距离公式
4、(1)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长d=__________.(2)空间两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)间的距离
5、AB
6、=__________________________.【即时应用】(1)思考:在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面.(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段AB的中点到原点的距离为________.【解析】由中点坐标公式可
7、得线段AB的中点为(-2,1,1),故到原点的距离为答案：(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面的对称点为P′，则=_________.【解析】由题意得P′(1，-1，1),∴答案：23.空间向量的标准正交分解、坐标表示及空间向量基本定理(1)在给定的空间直角坐标系中，i,j,k分别为x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z)，使得a=_________.把___________叫作a的标准正交分解，把______叫作标准正交基._______叫作空
8、间向量a的坐标，记作a=(x,y,z).__________叫作向量a的坐标表示.xi+yj+zka=xi+yj+zki,j,k(x,y,z)a=(x,y,z)(2)若b0为b的单位向量，称__________________为向量a在向量b上的投影.向量的坐标等于它在_____________上的投影.(3)空间向量基本定理如果向量e1,e2,e3是空间三个_______的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.空间中不共面的三个向量e1,e2,e
9、3叫作这个空间的一个_____.a·b0=
10、a
11、cos〈a,b〉坐标轴正方向不共面基底【即时应用】(1)思考:空间中的任意三个向量都可以作为空间向量的一个基底吗？提示：不可以.只有当三个向量不共面时才可以.(2)已知a=(2，-1,3)，b＝(-1,4，-2)，c＝(7,5，λ)，若a,b,c三个向量共面，则实数λ=__________．【解析】由于a,b,c三向量共面，所以存在实数m,n使得c=ma+nb，即解得答案：(3)已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一组基底
12、，若向量p在基向量a+b,a-b,c下的坐标为则向量p在基底{a,b,c}下的坐标为________．【解析】由条件得p=(a+b)-(a-b)+3c=a+2b+3c，故向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)．答案：(1,2,3)4.空间向量运算的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).(1)a+b=__________________;(2)a-b=_______
