实变函数期末考试题库.doc

《实变函数期末考试题库.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一）1《实变函数》期末考试模拟试题（二）6《实变函数》期末考试模拟试题（三）12《实变函数》期末考试模拟试题（四）17《实变函数》期末考试模拟试题（五）26《实变函数》期末考试模拟试题（六）29《实变函数》期末考试模拟试题（七）31《实变函数》期末考试模拟试题（八）35《实变函数》期末考试模拟试题（九）40《实变函数》期末考试模拟试题（十）46《实变函数》期末考试题（一）56《实变函数》期末考试题（二）62《实变函数》期末考试模拟试题（一

2、）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（A）（A）（B）（C）（D）2、若是开集，则（B）（A）（B）的内部（C）（D）3、设是康托集，则（C）（A）是可数集（B）是开集（C）（D）4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（D）（A）是上的连续函数（B）是上的单调函数（C）在上一定不可积（D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（A）（A）在上，不一定恒为零（B）在上，（C）在上，（D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的无理点全

3、体，则（C、D）（A）是可数集（B）是闭集（C）中的每一点都是聚点（D）2、若至少有一个内点，则（B、D）（A）可以等于零（B）（C）可能是可数集（D）是不可数集3、设是可测集，则的特征函数是（A、B、C）（A）上的简单函数（B）上的可测函数（C）上的连续函数（D）上的连续函数4、设在可测集上可积，则（B、D）（A）和有且仅有一个在上可积（B）和都在上可积（C）在上不一定可积（D）在上一定可积5、设是的单调函数，则（A、C、D）（A）是的有界变差函数（B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续（D）

4、在上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，，为的两个子集，则。2、设，如果满足，则是闭集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数（其中表示可数基数）。5、设，为可测集，，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是可测集，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上不一定可积。10、若是上的绝对连续函

5、数，则一定是上的有界变差函数。四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。（×）2、任何无限集均含有一个可数子集。（√）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（√）4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（×）5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。（×）五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定为开集。例如取上一列开集为，而是闭集，不是开集。2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？答：①简单函数是可测函数；②可测函数不

6、一定是简单函数；③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：①单调函数是有界变差函数；②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。六、计算题1、设，其中是有理数集，求。解：因为，所以于，于是2、求。解：因为而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即或且所以或，即。反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的有理点全体，则是可测集且。证明：因为是可数集，则对任意，取

7、开区间，，显然它们把覆盖住。于是。让得，，从而是可测集且。3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，，如果，则。证明：因为且，所以从而由题设又在上的可积，且所以由积分的绝对连续性得即。5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，。证明：记，其中显然在上，，且于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。《实变函数》期末考试模拟试题（二）（含解答）一、选择题（单

8、选题）1、下列集合关系成立的是（A）（A）（B）（C）（D）2、若是闭集，则（B）（A）的内部（B）（C）（D）3、设是有理数集，则（C）（A）（B）是闭集（C）（D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（D）（A）是开集（B）是开集（C）是闭集（D）是开集5、设是中的可测集，，都是上的可测函数，若，则（A）（A）于（B）在上，（C）在上，（D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集（B）中