线性方程组直接解法ppt课件.ppt

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1、第三章线性方程组直接解法(下）第三章目录§1.Gauus消元法§2.主元素法2.1引入主元素法的必要性2.2列主元素法2.3全主元素法2.4解三对角方程组的追赶法§3.矩阵分解法3.1Gauss消去法的矩阵形式3.2矩阵的三角分解3.3直接三角分解法§4.平方根法与改进的平方根法§5.矩阵求逆§6.方程组的性态和条件数§5Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆Gauss消元法有许多变形，列主元素法是其中之一，在列主元法的基础上还可对算法进行如下的修改：在消元过程中选主元后，先将主元化为1，然后将主元所在列上，下方各元素均化为0，这样消元的结果使系数矩阵化为了单位阵，无需回代就得到了原方程之解

2、，这种无回代过程的列主元素法称为Gauss-Jordan消元法。Gauss-Jordan消元法比顺序消去法计算量大一点，实践中使用不多，但用它求逆阵却十分方便。因为消元过程实质上就是对系数矩阵A实行初等变换，将A化为单位阵，相当于对A左乘了一系列的初等变换阵M1，M2，…，Mn-1，Mn，使：紧接下屏Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续1）这表明同样的一组初等变换在将A化为I的同时，可将I化为A1，即有：因此，以Gauss-Jordan消元法求A的逆阵，就是要找到Mi(i=1,2,…,n)，以它们逐个左乘(A,I),逐列将A的对角线上的元素化为1，而其余元素化为0，最终将A化为单位阵

3、，则I化为A的逆阵A1。Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续2）设增广阵为：这里aij(1)=a1j，上述aij(2)的计算与Gauss消元法基本上相同，仅仅由于m11与Gauss消元法中的乘数l11不相同引起第一行元素a1j(2)与aij(2)计算不相同，假若把增广阵中I的各列视为A的第n+1列，第n+2列，…，那么上述计算公式中的第二个下标可扩充到2n。Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续3）…Gauss-Jordan消元法求逆阵(续4)Gauss-Jordan消元法求逆阵(续5)Gauss-Jordan消元法求逆阵(续6)1……设经过k–1步后得到：Gauss-Jord

4、an消元法求逆阵(续7)其中：Gauss-Jordan消元法求逆阵(续8)完成n步消元后，A1放在原A的位置。Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤按上述紧缩存贮原则，可节省存贮单元，同时还使得整个计算更简单了。可总结求逆步骤如下：上述1，2是求第k列元素，构成Mk（即求主列）（计算其他元素，但少k列，k行）用上述Gauss-Jordan法求逆阵，计算量约为n3，是Gauss消元法的3倍，为保证方法稳定性，还可选列主元，若仍按上述紧缩存贮原则，则最后需按行交换的相反次序作列交换才能得到A1。Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤（续）Gauss-Jordan法求逆阵举例例9解：按紧

5、缩存贮方式，逐次计算结果与存贮如下：第一步：k=1，在第一列中选主元，交换1，2行，得：第三步：k=3以a33=1/6为主元，消元后得：交换2、3列最后：按行交换的相反次序进行列交换：先交换2，3列，再交换1，2列得A1。交换1，2列第二步：k=2在第二列对角元下选主元，交换2，3行由1，2先计算第2列，由3计算其他元素（除2列2行外）而由4计算剩下的第2行的元素（这里k=2的第2列第行称为主列，主行）§6方程组的性态与条件数无论用哪种方法求解线性方程组，一般情况下都会产生误差，本节讨论线性方程组解的误差。方程组的解为一组数，称为解向量，近似解向量与准确解向量之差称为误差向

6、量，为了估计误差向量的大小，首先需引入衡量向量与矩阵大小的度量——范数。6.1向量与矩阵的范数这三个性质刻画了向量长度的基本特征，并可以用其将平面向量长度的概念推广到一般n维向量，于是有如下定义：定义1下屏将给出范数的种类：常用的向量范数容易证明它们都满足上述三条性质。可以看出，2范数是平面向量长度计算公式在形式上的推广，也是线性代数中的内积定义。此处引入多种范数来刻画向量的大小，是为了在不同情况下用不同的范数研究问题。向量范数的证明：（只对第三条）对∞范数：前面2条显然，对第三条，由于对任意实数x,y，绝对值不等式：

7、x+y

8、≤

9、x

10、+

11、y

12、成立，因而有:分别称为向量x的2范数，1范数，无

13、穷范数。对2范数利用实数的柯西不等式：于是，有：常用的向量范数（续）Rn中范数的等价性例如可证明如下等价性：所以，2范数与范数是等价的。不难证明：——亦即1范数与范数是等价的。事实上:Rn中任意两种范数都是等价的。向量的误差有了向量范数，就可以用它来表示方程组解向量的误差，设x是方程组Ax=b的准确解向量，是近似解向量，则:显然，范数不同，其误差值是不一样的。分别称为的关于P范数的绝对误差与相