第四章 平面问题的有限单元法ppt课件.ppt

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1、结构离散化位移函数单元刚度矩阵载荷移植结构总体刚度方程位移边界条件的处理应力计算公式推广第四章平面问题的有限单元法弹性力学平面问题的有限元位移法有限元位移法求解弹性力学平面问题：离散研究对象，对它进行编号，然后建立线性代数方程组[K]{δ}={P}需要建立刚度矩阵[K]，建立载荷列阵{P}，引入约束边界条件，才能解方程得出位移{δ},求得应力{σ}。弹性力学平面问题的有限元位移法求解过程与平面杆件系统的求解过程相似，实际上平面杆件系统的求解过程运用了材料力学中杆件和梁的己知变形关系，但弹性力学平面问题形状复杂，受力情况多变，没有可利用的己知变形关系，在建立刚度矩阵时

2、必须对离散结构物所用的单元位移(变形)进行假设，因此用最简单的线性关系假设，离散平面问题的单元，三角形单元。常用的平面单元：§4-1结构离散化结构离散化时应注意的问题单元的大小要根据精度的要求和计算机的速度及容量来确定。在同一结构的不同位置采用不同的网格密度；边界比较曲折的部位－－单元应小一些应力、应变需要了解比较详细的重要部位－－单元应小一些应力、应变变化比较剧烈的部位－－单元应小一些结构受到突变的分布载荷或集中载荷时－－单元应小一些划分的单元最好不要有较小的锐角或较大的钝角。结构离散化的技巧利用对称性许多结构是对称的，可以只取其中有代表性的部分或截面建立模型。应

3、用对称模型的主要优点是：通常更易于建立模型。可以建立更细致的模型，以便获得比整体模型更好的结果。要利用对称性，下面因素必须是对称的：几何形状材料特性荷载状态几种不同类型的对称：轴对称旋转对称平面或镜面对称重复或平移对称轴对称沿某一中心轴对称，如灯泡，直管，圆锥体，圆盘和圆屋顶。对称面是由旋转形成的结构的截面，可以用一个二维“薄片”（旋转360°）代替真实的模型。在多数情况下假定荷载是轴对称的。如果荷载不是轴对称的，并且是线性分析，可以将荷载分解为两个分量进行单独求解，然后进行叠加。旋转对称（循环对称）结构由绕中心轴的几何重复部分组成，如涡轮转子。只需对结构的一部分建

4、立模型。假定荷载也是旋转对称的。该模型是反射或旋转对称平面或反射对称结构的一半与另一半成镜面映射关系，镜面为对称平面。荷载可以关于对称面对称或反对称。对称边界条件反对称边界UY=UZ=0ROTX=0对称边界UX=0ROTY=ROTZ=0YX该模型是重复，反射对称。重复或平移对称重复部分沿直线排列，如有均匀分布的散热片的长冷却管。假定荷载沿模型长度方向“重复”。采用子模型技术子模型由销孔周围的区域组成.子模型是一种有限单元技术，常用来在模型的一部分区域内获取更精确的解。子模型是在已分析过的模型上，截取部分子区域，对子区域实施更精细的网格划分，以便获取该区域更精确的结果

5、。曲轴的全模型.结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，即确定单元节点力和节点位移之间的关系。位移函数—将单元内任意一点的位移分量表示为坐标的函数。假定的位移函数必须满足两个条件：§4-2位移函数位移函数在单元节点上的值应等于节点位移；由位移函数出发得到的有限元解收敛于真实解。位移函数一般采用坐标的多项式形式—数学处理的方便对于平面问题，位移函数的一般形式为位移函数的一般形式式中，为待定系数。3节点三角形单元的位移函数三角形单元有6个自由度，单元的节点位移如下：位移函数形式：建立单元内任意点的位移与节点位移的关系，单元节点位移坐标为(xi,yi),(xj,yj),(

6、xm,ym)每一点的位移由下列方程给出，在i点上的水平位移方程为：ui=1+2xi+3yiuj=1+2xj+3yjum=1+2xm+3ym求出6个待定系数根据克莱姆法则，可求出1，2，3其中其中展开后令(i,j,m)Ni—单元的形函数可得同理可得vi=4+5xi+6yivj=4+5xj+6yjvm=4+5xm+6ym解出4,5,6可以写成写成矩阵形式所以，单元的位移模式：N—形函数矩阵，它是每一种单元的重要性质，反映了单元的位移状态，即单元内任意一点的位移和节点位移间的关系。形函数及其性质形函数在节点i上的值=1形函数

7、在节点上的值在三角形面积表示的行列式中以第一行展开Ni在其余二节点上的值等于零把面积的行列式以第一行展开乘第二行的代数余子式把面积的行列式以第一行展开乘第三行的代数余子式同理可得当当所以在单元上任一点的三个形函数之和等于1在三角形单元任一边如ij边上的形函数括号内部分代表刚体位移，其中分别代表单元沿x，y方向的刚体移动，而分别代表单元绕z轴的刚体转动。位移函数与解的收敛性2.位移函数必须能反应单元的刚性位移由于刚体位移不产生应变，则{ε}=0，可把位移函数改写为这些刚体位移不产生应变。1.位移函数必须能反应单元的常量应变位移函数在单元内部必须是连续函数位移函数必