平面问题的有限单元法

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1、5.2.3两种平面问题弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题平面应力问题厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于

2、中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：平面应变问题一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向

3、的位移，即w=0因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。45.3平面问题的有限单元法有限单元法的概念有限单元法的计算步骤单元位移函数单元刚度矩阵整体刚度矩阵单元载荷移置边界约束条件的处理（由例子可知）有限单元法的基本思路：(1)把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。(2)把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。(3)将结点的位移与结点的力联系起来。(4)列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。(5)求解代数方

4、程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。5.3.1单元与结构离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。一维问题杆单元、梁单元平面问题三角形单元、四边形单元、曲边单元等空间问题四面体单元、六面体单元、曲面六面体单元等这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。单元划分的原则：1

5、）各相邻单元体必须同边、同顶点；2）结构厚度或弹性常数突变处应作为单元间的分界线；3）单元的大小主要根据计算精度和计算机的运算速度确定。85.3.2单元位移函数如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。9对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位

6、移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。三结点三角形单元位移函数如下：所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。位移函数写成矩阵形式为：将水平位移分量和结点坐标代入写成矩阵形式12A为三角形单元的面积。令13则同样，将垂直位移分量与结点坐标代入，可得14其中15最终确定六个待定系数17（下标i，j，m轮换）简写为令[N]称为形态矩阵，Ni称

7、为位移的形态函数或简称形函数或插值函数。由位移函数可知：当ui=1,uj=0,um=0时，u=Ni；当vi=1,vj=0,vm=0时，v=Ni，即函数Ni表示了当节点i产生单位位移而节点j、m分别产生零位移时，单元产生的位移分布形态。19形函数具有如下性质：1）在节点上形函数的值有2）在单元内任一点各形函数之和应等于1，即Ni+Nj+Nm=13)对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点在公共边界上位移

8、的连续性。选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：(1)位移模式必须在单元内连续，并且两相邻单元间的公共边界上的位移必须协调；(2)位移模式必须包括单元的刚体位移；(3)位移模式必须包含单元的常应变状态。21例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。由三角形的面