第五章 平面问题的复变函数解答ppt课件.ppt

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1、第五章平面问题的复变函数解答要点：（1）应力函数、应力分量、位移分量、边界条件等的复变函数表示；（2）多连体中复位势函数的结构；应用：复杂边界形状及边界条件的问题。（3）复变函数解法的应用。§5-1应力函数的复变函数表示主要内容§5-2应力和位移的复变函数表示§5-3各个复变函数确定的程度§5-4边界条件的复变函数表示§5-5多连体中应力和位移的单值条件§5-6无限大多连体的情形§5-7保角变换与曲线坐标§5-8孔口问题§5-9椭圆孔口§5-10裂隙附近的应力集中§5-11正方形孔口§5-1应力函数的复变函数表示1、复变函数的基本概念

2、xyO(x,y)(x,-y)yx(1)复数的表示其中：i——为虚数单位；——复数z的模；——复数z的极角。(2)共轭复数(3)复变函数的表示分别为f(z)的实部和虚部。复变函数的共轭函数的表示一般而应将所有i换为–i.注意：复数z对应平面上的点，复变函数w=f(z)将平面z上的点变换为平面w上的点，将平面z上的图形变换为平面w上的图形，将平面z上的一个区域变换为平面w上的一个区域。因此，用复数和复变函数来描述和求解平面问题是十分自然的。记为：(4)解析函数的概念与性质如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解

3、析。如果函数f(z)在区域D内每一点解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数。解析函数的概念：（1）解析函数的性质：两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数。（2）函数：解析的充要条件：（a）在定义域D上处处可微；（b）满足Cauchy-Riemann方程：称为互为共轭的调和函数。且满足Laplace方程：曲线族：互相正交。（3）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，则f(z)在D内任何一封闭曲线C的积分为零。柯西—古萨（Cauchy-Goursat)定理（4）如果函数f(z)在单

4、连域D内处处解析，则f(z)的积分与路径无关。（4）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，则F（z）必为解析函数，且有（5）（Cauchy积分公式）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，C为D内任何一条简单闭曲线，它的内部完全属于D，z0为包含在C内的任一点，则有：特别当有：（6）设f(z)在以z=z0为圆心的圆内和圆周上是解析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：（7）设f(z)在以R1<

5、z=z0

6、

7、（2）相容方程的复变函数表示本章中用U（x,y）表示应力函数，同时将应力函数视为复变数z,的函数。（5-1）（5-2）对式（5-1）进一步求导：（5-3）（5-4）由此可得：——相容方程的复变函数表示3.应力函数的复变函数表示将式（a）对复变量z各积分两次（b）（a）∵双调和函数量U为实函数，所以式（b）中应两两共轭，有式（b）可改写为令：——古萨（Goursat）公式上式也可改写为：其中：分别为两解析函数。（5-5）（5-6）由此可见，在常量体力的平面问题中，应力函数U总可以用复变数z的两个解析函数φ1(z)和θ1(z)来表示，称为

8、克罗索夫和穆斯赫利什维利(Kolosoff-Mushelishvili)函数。——古萨（Goursat）公式其中：分别为两解析函数。（5-5）（5-6）§5-2应力和位移的复变函数表示1、应力分量的复变函数表示假定不计体力，有（5-7）由方程（5-4）得（5-4）将式（5-5）代入，有（5-8）由式（5-2）：可得：将式（5-5）代入，有令：——另一解析函数（a）（5-9）（5-8）由式（5-9）可看出：（1）函数具有相同的量纲[力][长度]－1。（2）只要函数求得，则应力分量就可确定。2、位移分量的复变函数表示不妨考虑平面应力问题，

9、有（b）（c）（d）（b）（c）（d）（e）由式(5-8)、(5-7)、(5-1)，得（f）（5-7）（5-1）（5-8）（e）（f）对上两式分别就变量x，y积分，（g）式中f1、f2为任意函数。将上式中的第一、二式分别对y、x求导，有将上式代入式（d）：得：（d）解此方程，有——代表刚体位移当不计刚体位移，其位移分量为计算：（h）利用式（5-2）中的第一式：及式（5-5）式：得：（i）将式（i）代入式（h）,有等式两边同除以，有（5-10）——位移分量的复变函数表示说明：（1）式（5-8）（5-9）（5-10）是由柯洛索夫（M.C.

10、Kolossoff）首先得到的。（2）式（5-10）是就平面应力情形推导而得的，若为平面应变情形，则材料常数E、μ需作相应转换。即：（3）若已知：，即可求出位移分量。例：已知式中A、B为复常数。试求其所对应的应力。解：由