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1、函数【基础知识精讲】1.函数的定义(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集

2、合、映射的观点出发，侧重点不同.函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集.2.函数的三要素定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以也可以说函数有两要素：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.例如y＝x与y＝不是同一函数.y＝x与y＝也

3、不是同一函数.而y＝｜x｜与y＝是同一函数.3.函数的对应法则在函数的三要素中，对应法则是核心.通俗地说，f就是对自变量x进行“操作”的“程序”或“方法”.按照这一“程序”，从定义域集合A中的任一x，可得出值域C中的唯一y与之对应.同一f可以“操作”于不同的变量.如f(x)是对x进行操作，而f(x2)是指对x2进行操作.4.函数的定义域函数的定义域是函数研究的重要内容，在给定函数的同时应该给定函数的定义域.一般地，我们规定，如果不加说明，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此，我们就可以

4、“求出”函数的定义域了.5.求函数值域的方法求函数值域是一个相当复杂的问题，常见的方法有(1)图像法；(2)反解x；(3)配方法；(4)换元法.以后还可用(5)单调性；(6)判别式法等.6.函数符号y＝f(x)，它是抽象符号之一，“y＝f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式；f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.

5、f(a)是f(x)的一个特殊值.7.函数的表示方法主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图像法.8.“区间”与“无穷大”的两个概念区间是数学中常用的术语和符号.必需记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示和区间表示法.无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.9

6、.基础知识图表【重点难点解析】1.要正确理解函数概念应该注意：(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝｜x｜，与f(x)＝是同一个函数.(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y＝f(x)是

7、“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图像或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.2.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.例1试判断以下各组函数中，是否表示同一函数?(1)f(x)＝，g(x)＝；(2)f(x)＝，g(x)＝；(3)f(x

8、)＝，g(x)＝()(n∈N)；(4)f(x)＝，g(x)＝.解：(1)由于f(x)＝＝｜x｜，而g(x)＝＝x.故它们的值域对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.(2)由于函数f(x)＝的定义域为R+∪R-，而g(x)＝的定义域为R.故它们不是同一函数.(3)由于当n∈N+时，2n±1为奇数，∴f(x)＝＝x，g(x)＝()＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.(4)由于函数f(x)＝的定义域为｛x｜x≥0｝，而