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1、第一章控制系统的状态空间表达式1.1状态空间描述的概念1.2状态空间表达式的建立1.3状态向量的线性变换1.4从状态空间表达式求传递函数阵本章小结1.1状态空间描述的概念一、基本定义先看一个RLC电力的例子图中，u-输入变量列写微分方程：消去中间变量：传函表示形式：C图1-1一阶微分方程表示形式：向量矩阵表示形式：在向量矩阵表示形式中，如果令，则其变为再令则可写为：1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和t>=to时输入的时间函数，那么
2、，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确定了。2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为：3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。5、输出方程：系统
3、输出与状态变量间的函数关系。例如，前例中，若取为输出，则有写出矩阵形式：若指定i为输出，则若指定均为输出，则二、状态空间表达式：系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。对于前例，其状态空间描述为：一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为：其中：N维向量系统矩阵n×n方阵输入矩阵控制矩阵n×r维r维输入向量m维输出向量输出矩阵m×r维直接传递矩阵m×r维三、状态空间描述的方框图单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外部
4、输出的影响。四、状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。UADCxY++++B原则：系统的阶数等于积分器的个数，取每个积分器的输出为状态变量。a，由微分方程绘模拟结构图例：移项：bu－－－b，由方框图绘模拟结构图例：－c，由状态空间表达式绘模拟结构图例：d、多输入多输出系统的模拟结构图－－2－3－6－－u五、状态空间表达式的说明1、状态变量组的最小性体现在：状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最小个数，减少变量数将破坏表征
5、的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为不需要的。2、状态变量组在数学上的特性体现在：x1(t),x2(t),…,xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。3、状态空间描述考虑了“输入－状态－输出”这一过程，揭示了问题的本质4、输入引起状态变化是一个运动过程，表现为向量微分方程；状态决定输出是一个变换过程，表现为代数方程。5、系统状态变量的个数等于系统中独立贮能元件的个数。6、对于给点系统，状态变量的选择不是唯一的。7、系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，适合于计算机计算。8、对
6、结构和参数已知的系统，可依据物理机理列写状态方程。9、一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量.单从便于控制系统的结构来说,把状态变量选为可测量或可观察更为合适。1.2状态空间表达式的建立一、根据模拟结构图列写状态空间表达式（一）一阶系统的状态空间描述【例1】一阶系统的运动方程不含输入函数的导数项.一阶系统方块图：系统模拟结构图：U(s)Y(s)S-1+uy+_由模拟结构图写出状态方程:输出方程:【例2】设一阶系统的运动方程包含输入函数的导数项.一阶系统运动方程方块图:方法：将每个积分器的输出
7、取为状态变量，然后按图中信号流程列写状态方程和输出方程模拟结构图:根据模拟结构图,写出状态方程,输出方程【例4】方程中含有输入函数的一阶导数.模拟变量图：++状态方程与输出方程：（三）n阶线性系统的状态空间描述.n阶线性系统传递函数为:输出函数的拉氏变换为：令:或可得:模拟结构图由模拟结构图写出n阶线性系统状态方程与输出方程：输出方程：即：【例5】设线性系统的传递函数为:试绘制系统的模拟结构图.并根据模拟结构图写出系统的状态空间描述.解:令:模拟结构图：123-7-12状态空间描述：二、据系统方框图导出
8、系统状态空间描述【例6】已知系统方块图,试导出系统状态空间描述.解:1)把各环节传递函数化为最简形式组合.原方块图化为:2)把具有简单函数相乘的环节化为单元方块的串联3）把具有最简单传递函数（）的环节输出选取为状态变量。化简为：拉氏反变换：状态方程：输出方程:三、系统的一般时域描述化为状态空间描述在经典控制理论中,控制系统的时域模型为线性定常系统的状态空间表达式为要解决的问题:选取适当的状态变量,并由定出相应的系数矩阵A、B、C、D.1、方
