大学高数下册试题及答案 第8章.doc

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1、院系班级姓名作业编号第八章重积分作业9二重积分的概念与性质1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：（1）与(a)D是由直线及所围成的闭区域；(b)D是由圆周所围成的闭区域．解：(a)因为在区域内部有，从而大(b)因为在区域内部有，从而大（2）与(a)D是矩形闭区域：；(b)D是矩形闭区域：．解：(a)因为在区域内部有，从而大(b)因为在区域内部有，从而大（3）与，其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域．解：因为在区域内部有，从而，因此大21院系班级姓名作业编号2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：（1），其中D是矩形闭区域：；解：因为在区域内部有，因此（2），其中为球体；解：因

2、为在区域内部有，因此（3），其中L为圆周位于第一象限的部分；解：因为在曲线上积分，不妨设，，因此（4），其中为柱面被平面所截下的部分．解：因为在曲面上积分，从而，，因此21院系班级姓名作业编号作业10二重积分的计算1．试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；解：作图得知区域D可以表示为：，得区域D也可以分块表示为：从而（2）环形闭区域：．解：在极坐标下环形闭区域为从而在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：（1）；（2）；（3）．3．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1），其中D是由两条

3、抛物线所围成的闭区域；21院系班级姓名作业编号解：作图，原式=（2），其中D是由所确定的闭区域；解：作图，原式=（3），其中D是由不等式所围成的闭区域；解：作图，原式=（4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域．解：作图，原式=4．求由曲线所围成的闭区域的面积．解：曲线方程联立，得作图知，原式=5．求由四个平面所围柱体被平面及所截得的立体的体积．解：四个平面决定的区域D为：在区域D内部从而所截得的立体的体积6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：（1）21院系班级姓名作业编号（2）；7．利用极坐标计算下列积分：（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；解：D是圆周，即从而（2），其中是由

4、圆所围成的闭区域；解：D是圆周围成，知其为从而原式=（3），D是与所确定的闭区域；解：D是圆环的关于原点对称的两部分，，与从而原式=（由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号）21院系班级姓名作业编号（4），其中D是介于两圆和之间的闭区域．解：D介于两圆之间，可知从而原式=8．用适当的坐标计算下列积分：（1），其中是由直线，，，（）所围成的闭区域；解：作图知由直角坐标表达方便，（2），其中是由圆周所围成的闭区域；解：由表达式由极坐标表达方便，，原式=（3），D：；解：先作坐标轴平移，再用极坐标原式=21院系班级姓名作业编号（4），D：．解：用广义极坐标原式=21院系班级姓名作业编号

5、作业11三重积分的概念与计算1．试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为：（1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域；（2）由曲面及所围的闭区域．2．计算下列三重积分：（1），其中为平面，所围成的四面体；解：分析边界作图知为，原式=（2），其中是由曲面与平面所围的闭区域；解：分析边界作图知为，原式=（3），其中是由平面及抛物柱面所围的闭区域．解：分析边界作图知为，原式=21院系班级姓名作业编号3．利用柱面坐标计算下列三重积分：（1），其中是曲面和平面所围成的闭区域；解：原式（2），其中是曲面及所围成的闭区域；解：原式（3），其中是曲面和平面所围成的闭区域；解：原式（4），其中是曲面和平

6、面所围成的闭区域．解：先作坐标轴平移，再用柱坐标原式=21院系班级姓名作业编号4．利用球面坐标计算下列三重积分：（1），其中是球面所围成的闭区域；解：原式（2），其中是由不等式（），所确定的闭区域；解：原式（3），其中是不等式，所确定的闭区域．解：原式5.选取适当的坐标计算下列三重积分：（1），其中是柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域；解：用柱坐标21院系班级姓名作业编号原式=（2），其中是球面所围的闭区域；解：用球坐标原式（3），其中是由曲面及平面所围的闭区域；解：用柱坐标原式=（4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭区域；解：用球坐标原式（5），其中是椭球面所围成的闭区域．

7、解：用广义球坐标21院系班级姓名作业编号原式21院系班级姓名作业编号作业12重积分的应用1．球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比，求这球体的质量．解：设球面的方程为，球的密度为则球体的质量为2．求球体的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的距离的平方．解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为，3．设均匀平面薄片为椭圆形闭区域：，求转动惯量．解：用广义极坐标21院系班级姓名作业编号4．设半径为的球体内每一点密度