第2章行列式及矩阵的秩ppt课件.ppt

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1、第2章行列式及矩阵的秩行列式是十分有用的工具，利用它可以进一步研究矩阵及定义许多重要概念.本章介绍了行列式的概念、性质和计算方法，给出了行列式的一些应用：解线性方程组的克莱姆法则、定义矩阵的秩及求可逆矩阵逆矩阵的公式.第2章目录第2.1节行列式的概念第2.2节行列式的性质第2.3节克莱姆法则第2.4节矩阵的秩第2.5节数学实验第2.1节行列式的概念本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式二元与三元线性方程组解的行列式表示n阶行列式返回1.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式定义已知2阶

2、方阵称为二阶行列式，记作A或detA.例如：(2)3阶行列式定义已知3阶方阵称为三阶行列式.而称为元素a11,a12及a13的余子式；而称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.在3阶行列式中分别划去元素a11,a12及a13后剩余的元素保持原来的次序构成的2阶行列式例如：行列式中元素1,4,6的代数余子式为利用代数余子式的概念,上述定义可表述为：三阶行列式等于第1行各元素与其相应的代数余子式乘积之和，即例1计算3阶行列式解由定义，有2.二元、三元线性方程组解的行列式表示为求得上述方程组的解，可利

3、用加减消元得到：利用二阶行列式定义，解中的分母可写作解中的分子可分别记为：这里Dj(j=1,2)是将系数行列式D的第j列换为右端常数项而得的行列式.系数行列式例2解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为例3解线性方程组解：系数行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为3.n阶行列式定义利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义.定义：n阶矩阵A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素与其相应的代数余子式乘积之和，即也称为n阶行列式按第1行展开.例4计算行列式解由行列式定

4、义，有例5证明n阶行列式(下三角)证：由定义，有下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积！类似地，可以证明4.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若用定义计算思考练习答案第2.2节行列式的性质1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：当n=2时，结论显然成立.假设n=k-1时结论成立,现证n=k时结论成立.由行列式的递推定义，有由于Ai1(i=1,2,…,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有返回据此知：行列式的“行”成立的性质

5、,对“列”也成立；反之亦然.例1计算行列式解性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.推论若行列式D有两行(列)完全相同,则D=0.性质3行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即推论(1)若D中一行(列)所有元素为零,则D=0；(2)若D的两行(列)对应元素成比例,则D=0.性质3的证明证：若第1行有公因子,利用定义知结论成立.一般地，若第i行有公因子,互换第1行和第i行，有性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两项之和,则可把该行列式化为两个行列式的和，而这两

6、个行列式这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余位置的元素不变.即性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即性质6行列式D的值等于它的任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即这里Aij为元素aij的代数余子式.证：当i=1时,为行列式的递推定义,结论成立；当i>1时,将D的第i行依次与它的前i-1行互换,得到行列式D1,且有从而按行(列)展开定理性质7n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即证考虑辅助行列

7、式0=t列j列例2计算行列式解解解本例是利用行列式性质将其化为上三角形,再利用已知结果得出其值的！例3计算行列式解选取“0”多的行或列化出“0”多的行或列，降阶计算，最常用.例4计算行列式解例5证明证证例6计算n阶行列式解例7计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)解(1)注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回解(3)返回箭形行列式例8已知4阶行列式解法1法2利用行列式的性质6，简化计算.例9范得蒙行列式（Vandermonde)记住结果！例如2.证明1.

8、计算行列式思考练习答案=右边2.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1≤k≤n）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而为其代数余子式.这里i