高一数学教案：46两角和与差的正弦、余弦、正切(7).docx

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1、课题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（7）教学目的：引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式．教学重点：复角公式的运用和技能的提高教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincossincossin()sincossincostan(tantantan()tantan)tantan1tantan12推导公式：asinbcosa2b2(ab2sina2bcos)a2b2(a)2(b)21由于a2b2

2、a2b2sin2θ＋cos2θ＝1ab(1)若令a2b2＝sinθ，则a2b2＝cosθ∴asinα＋bcosα＝a2b2（sinθsinα＋cosθcosα）＝a2b2cos（θ－α）或＝a2b2cos（α－θ）ab(2)若令a2b2＝cos，则a2b2＝sin∴asinα＋bcosα＝a2b2（sinαcos＋cosαsin）＝a2b2sin（α＋）例如：2sinθ＋cosθ＝2212(25sin5cos)55255若令cos＝5，则sin＝5∴2sinθ＋cosθ＝5（sinθcos＋cosθsin）＝5sin（θ＋）255若令5＝sinβ，则5＝cosβ∴2sinθ＋cosθ＝5（

3、cosθcosβ＋sinθsinβ）＝5cos（θ－β）或＝5cos（β－θ）看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式二、讲解范例：例1（辅助角）函数y3sin(2x)cos2x3的最小值y3(3cos2x1sin2x)cos2x1cos2x3sin2x解：2222sin(2x)16sin(x)5，求sin2x的值。例2（角变换）已知413sin2xcos(2x)cos[2(x4)]解：212sin2(x)12(5)2119413169例3（公式逆用）计算：(1+3)tan153解：原式=(tan45+tan60)tan153=tan105(1tan45ta

4、n60)tan153=(13)tan105tan153=(13)×(1)3=12例4（角变换）已知sin(45)=3，且45<<90，求sin5解：∵45<<90∴45<45<0∴cos(45)=3cos2=sin(902)=sin[2(45)]45=2sin(45)cos(45)=9452210即1sin2=9，解之得：sin=6例5已知是三角形中的一个最小的内角，acos2sin2cos2asin2a1且2222，求a的取值范围a(cos2sin2)(cos2sin2)a1解：原式变形：2222即(a1)cosa1，显然a1（若a1，则0=2）cosa1a1∴01cos13，∴2又∵

5、1a11即2a13解之得：a例6试求函数ysinxcosx2sinxcosx2的最大值和最小值x[0,]若2呢？tsinxcosx2sin(x)[2,2]解：1．设4则t212sinxcosx∴2sinxcosxt21yt2t1(t1)21[3,32]∴244ymax32,ymin34∴x[0,]2]，∴y2．若2，则t[1,[3,32]即ymax32,ymin3例7已知tan=3tan(+)，6，求sin(2+)的值sin3sin()解：由题设：coscos()即sincos(+)=3sin(+)cos即sin(+)cos+cos(+)sin=2sincos(+)2cossin(+)1∴

6、sin(2+)=2sin又∵6∴sin2∴sin(2+)=1三、课堂练习：sinsin1(1)3coscos12(2)1已知、均为锐角，求sin()的值．分析：由于sin()sincoscossin，由已知两式一时得不到sincos与cossin的值，而只能出现sinsin与coscos一类的值，例如(1)2+(2)2,得22(coscossinsin)13cos()5972．由此要求36，化简、整理得sin()的值，固然有路可循，但是还要进一步定出sin()的值的符号才行．0,3,cos()3,sin(3)5,求sin()２已知44445413的值．sin()cos()3)()56cos

7、(提示：244＝65．３已知cos()0,求证sin(2)sin．分析：比较已知与求证部分，必然要做如下变换为宜：2()．解：sin(2)sin()sin()cos，而coscos()sin()sin，注意到sin()1，得sin(2)sin2()sinsin四、小结常用技巧：1化弦2化“1”3正切的和、积4角变换5“升幂”与“降次”6辅助角五、课后作业：1求证：(1)3sin1cossin()226(2)cossin2