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1、第二章随机变量及其概率分布离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量函数的概率分布(randomvariable)第一节离散型随机变量随机变量的概念离散型随机变量及其分布律三种常见分布小结(discreterandomvariable)关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率
2、论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量一、随机变量的概念在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；四月份北京的最高温度；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)定义1设E是随机试验，样本空间为
3、，如果对于每一个结果(样本点)，有一个实数与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数，称为随机变量。随机变量通常用X,Y,Z,…或来表示。随机变量的特点1它的取值带有随机性；2X取各个值有一定的概率①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}练习引入适当的随机变量描述下列事件：X=空格数Y=试验成功次数随机变量的分类：随机变量二、离散型随机变量分布律的定义看一个例子从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)
4、取每个值的概率为:定义1：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.其中(k=1,2,…)满足：k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断一个函数是否是分布律定义2：设X为离散型随机变量，可能取值为，且则称为离散型随机变量X的分布律.离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法X例1设随机变量X的分布律为X求a,b满足什么条件。一旦知道一个离散型随机变量X的分布律后，我们便可求得X所生成的任何事件的概率。特别地，对任意，有例2设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，记X为其中次品的件数。(1)求X的分布律；(2)用随机变
5、量的分布，求下列事件的概率：A:没有一件次品；B:只有一件次品C:最多一件次品；D:至少一件次品解设表示任取的3件产品中有i件次品(2)有了随机变量的分布，事件的概率就可以根据分布求出来。例3某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取值为0,1,2;常常表示为：X这就是X的分布律.例4一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.解:依题意,X可取值0,1,2,3.Ai={第i个路口遇红灯}
6、,i=1,2,3设路口3路口2路口1P{X=0}=P(A1)=1/2,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4路口3路口2路口1P{X=2}=P()=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()X即练习1.设离散型随机变量X的分布律为分别求上述各式中的常数2某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的分布律.练习解:显然，X可能取的值是1,2,…，为计算P{X=k}，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，P{X=1}=P(A1
7、)=p,于是可见这就是求所需射击发数X的分布律.·几个常用的离散型分布（一）贝努利(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布若随机变量X只取两个可能值0,1，且其中，则称X服从0-1分布，X的分布律为(Binomialdistribution)2二项分布定义若随机变量X的可能取值为0,1,…,n,而X的分布律为其中，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为例设设，试求解由知，即，由此得再由可得例2某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用100
