数值分析ppt第8章矩阵特征值问题计算ppt课件.ppt

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1、第8章矩阵特征问题的计算8.1引言8.2幂法及反幂法8.3豪斯霍尔德方法8.4QR方法8.1引言工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题.下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识.定义1⑴已知n阶矩阵A=(aij)，则称为A的特征多项式.一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的特征值.用λ(A)表示A的所有特征值的集合.A的特征方程⑵设λ为A的特征值，相应的齐次方程组注：当A为实矩阵时，(λ)=0为实系数n次代数方程，其复根是共轭成对出现.的非零解x称为矩阵A

2、的对应于λ的特征向量.例1求A的特征值及特征向量，其中解矩阵A的特征方程为求得矩阵A的特征值为：对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：定理1设λ为A∈Rn×n的特征值,且Ax=λx(x0)，则有⑵λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x；⑴cλ为的cA特征值(c≠0为常数)；下面叙述有关特征值的一些结论：⑶λk为Ak的特征值，即Akx=λkx；⑷设A为非奇异矩阵，那么λ≠0,且λ-1为A-1的特征值，即A-1x=λ-1x.定义3设n阶矩阵A=(aij)，令下面讨论矩阵特征值界的估计.⑴；⑵集合称为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n个Gerschg

3、orin圆盘.定理8(Gerschgorin圆盘定理)特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.⑴设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中⑵如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特征值.或者说A的特征值都在n个圆盘的并集中.证明只就⑴给出证明.设λ为A的特征值，即Ax=λx，其中x=(x1,x2,,xn)T0.或记，考虑Ax=λx的第k个方程，即于是即这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k是对应特

4、征向量x绝对值最大的分量的下标).利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵并做相似变换.适当选取　可使某些圆盘半径及连通性发生变化.例2估计矩阵A的特征值范围，其中解矩阵A的3个圆盘为由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一个特征值λ1(为实特征值)，即A的其它两个特征值λ2,λ3包含在D2,D3的并集中.现在取对角阵做相似变换矩阵A1的3个圆盘为显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含A的一个特征值(为实特征值)，且有估计定义4设A∈Rn×n为对称矩阵，对于任一非零向量x，称为对应

5、于向量x的瑞利(Rayleigh)商.定理11设A∈Rn×n为对称矩阵(其特征值次序记为λ1≥λ2≥≥λn)，则1.(对任何非零x∈Rn)；2.；3..证明只证1，关于2,3自己作练习.由于A为实对称矩阵，可将λ1,λ2,,λn对应的特征向量x1,x2,,xn正交规范化，则有(xi,xj)=δij，设x0为Rn中任一向量，则有于是从而1成立.结论1说明瑞利商必位于λn和λ1之间.关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根.但当n较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求

6、矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特征值及特征向量的数值解法.本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的方法（变换法）.幂法与反幂法都是求实矩阵的特征值和特征向量的向量迭代法，所不同的是幂法是计算矩阵的主特征值(矩阵按模最大的特征值称为主特征值，其模就是该矩阵的谱半径)和相应特征向量的一种向量迭代法，而反幂法则是计算非奇异(可逆)矩阵按模最小的特征值和相应特征向量的一种向量迭代法.下面分别介绍幂法与反幂法.8.2幂法及反幂法现讨论求λ1及x1的方法.设实矩阵A=(aij)有一个完全的特征向量组，即A有n个线性无关的特征向量，

7、设矩阵A的特征值为λ1,λ2,,λn,相应的特征向量为x1,x2,,xn.已知A的主特征值λ1是实根，且满足条件8.2.1幂法（又称乘幂法）幂法的基本思想是:任取非零的初始向量v0,由矩阵A构造一向量序列{vk}称为迭代向量，由假设，v0可唯一表示为于是其中由假设故从而为λ1的特征向量.所以当k充分大时，有即为矩阵A的对应特征值1的一个近似特征向量.用(vk)i表示vk的第i个分量，则当k充分大时，有即为A的主特征值1的近似值.由于这种由已知非零向量v0及矩阵