资源描述：
《微积分(上册)第二章ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、微积分（上册）第二章极限与连续数列的极限第一节函数的几种特性第二节反函数与复合函数第三节行车工作认知第四节第二章极限与连续极限存在准则两个重要极限第五节无穷小的比较第六节函数的连续与间断第七节连续函数的运算与性质第八节数列的极限第一节第一节数列的极限极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的.例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.又如，《庄子·天下篇》中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变
2、量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法也是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列及数列极限的定义.为了研究一般函数的极限,下面先讨论一种特殊函数的极限——数列的极限.一、数列极限的定义定义1按一定次序排列的无穷多个数x1，x2，…，xn，…称为无穷数列，简称数列，可简记为{xn}.其中的每个数称为数列的项，xn称为数列的通项(或一般项)，n称为xn的下标.在几何上，数列{xn}可看成数轴上的一个动点，它在数轴上依次取值x1，x2，…，xn，…(见
3、图2-1).图2-1一、数列极限的定义数列{xn}可看成自变量为正整数n的函数：xn=f(n)，称为整标函数,其定义域是全体正整数.当自变量n依次取1，2，3，…时，对应的函数值就排成数列{xn}(见图2-2).图2-2一、数列极限的定义引入案例在很长一段时间内，人们试图采用各种图形(如矩形、三角形)去近似计算圆的面积.约公元263年我国的数学家刘徽注解《九章算术》时，提出了“割圆术”，用圆的内接(或外切)正多边形穷竭的方法求圆面积.“割圆术”求圆的面积的做法和思路是(见图2-3)：图2-3一、数列极限的定义先作圆的内接正三角形，
4、把它的面积记作A1，再作内接正六边形，其面积记作A2，再作内接正十二边形，其面积记作A3,…,照此下去，把圆的内接正3×2n－1(n=1,2,…)边形的面积记作An，这样得到一个数列A1,A2,A3,…,An,…从图形上不难看出：随着圆内接正多边形边数的增加，内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近.可以想象，当边数n无限增大时，圆的内接正3×2n－1边形的面积An会无限地接近圆的面积A.为刻画数列的这种变化趋势，下面引入数列极限的概念.一、数列极限的定义定义2若对于数列{xn}，当n无限增大时，数列的通项xn无限接近于常
5、数A，则称A是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于A，记作limn→∞xn=A或xn→A(n→∞).若数列{xn}没有极限，则称数列{xn}发散.有了数列极限的概念，圆的面积A可以表示为A=limn→∞An，即圆的面积等于圆的内接正3×2n－1边形的面积所构成的数列A1,A2,A3,…,An,…的极限.一、数列极限的定义【例1】一、数列极限的定义(3)xn=(－1)n+1,其前五项为：1,－1,1,－1,1，其奇数项为1，偶数项为－1,当n→∞时，数列的通项在1和－1之间来回摆动，这样的数列称为摆动数列，我们不能说该数列的
6、极限为±1,这不符合数列极限的定义，所以该数列发散.如果一个数列有极限，其极限值是唯一的.(4)xn=2n+1,其前五项为：3,5,7,9,11.当n→∞,2n+1→∞，故该数列发散.通过上述讨论可知：对于数列{xn}的极限问题，我们所关心的不仅是它的前几项或每一项如何，而更重要的是研究当n→∞时，xn的变化趋势.特别是这样一类数列{xn}：当n无限增大时，数列的通项xn无限趋近于常数A，则称A是数列{xn}的极限.一、数列极限的定义定义3若对于任意给定的正数ε(不论多么小)，总有正整数N存在，使得当n>N时，不等式
7、x
8、n－A
9、<ε(2-1)恒成立，则称常数A为数列{xn}当n→∞时的极限，或者说数列{xn}当n→∞时收敛于A，记作limn→∞xn=A或xn→A(n→∞).一、数列极限的定义数列极限的几何解释：将数列xn和极限A在数轴上的对应点表示出来，给定正数ε后，在数轴上作出点A的ε邻域(A－ε,A+ε)(见图2-4).图2-4一、数列极限的定义因为不等式
10、xn－A
11、<ε与不等式A－εN时，所有点xn都落在开区间(A－ε,A+ε)内，而数列xn中只有有限项落在该区间外.或者形象地说，在点A的无限小的ε邻域内
12、，聚集着数列{xn}的无穷多个点，所以点A也叫数列{xn}的聚点.一、数列极限的定义①掌握极限概念的关键在于对正数ε二重性的理解.一方面，ε必须具有任意性，ε可以代表任意小的正数，只有这样才能保证数列{xn}无限地趋近
