微积分(上册)第五章ppt课件.ppt

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1、微积分（上册）第三章导数与微分导数的基本概念第一节函数的求导法则第二节高阶导数第三节隐函数及由参数方程所确定第四节函数的微分及其应用第五节导数的基本概念第一节一、原函数的概念求函数的导数或微分是微分学的基本问题，但在工程与社会实践中往往会遇到这类问题的逆问题.例如，在物理学中常提出：在已知物体运动速度v=v(t)的情况下，如何求出该物体的运动方程s=s(t)的问题.由微分学知识可知，s′(t)=v(t)，此问题实际上是要求出使s′(t)=v(t)成立的s(t)，这是与求导运算相反的问题.我们称s(t)为s′(t)［即v(t)］的原函数.从纯数学

2、意义上审视，我们知道，(x2)′=2x，2x是x2的导函数；反之，x2称为2x的一个原函数.下面给出原函数的定义.引例1.一、原函数的概念原函数定义2.定义1如果在区间D上定义了一个可导函数F(x)，对于区间D上的所有x，都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx(x∈D)，(5-1)则称F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数.例如，因(x3)′=3x2(－∞

3、函数的概念当等式成立的区间为(－∞,+∞)时可以省略不写.注一、原函数的概念进一步考虑，如果一个函数存在原函数，原函数有多少个？这些原函数之间又有什么关系呢？请看下面例子：(x2)′=(x2±1)′=(x2±2)′=…=(x2+C)′=2x，由原函数的定义知：x2，x2±1，x2±2，…，x2+C均为2x的原函数.这说明，一个函数如果有原函数就有无穷多个原函数.那么，在什么条件下，一个函数一定存在原函数?是不是任意给出的函数都有原函数？要回答这个问题请看下面定理.一、原函数的概念原函数定理3.定理1(原函数存在定理)若函数f(x)在区

4、间D上连续，则f(x)在区间D上一定存在原函数F(x).该定理将在第五章第二节予以证明.由于初等函数在其定义区间上是连续的，因此，根据定理1可知，初等函数在其定义区间上存在原函数.一、原函数的概念定理2(原函数族定理)如果函数F(x)是f(x)在区间D上的原函数，则(1)F(x)+C也是f(x)在区间D上的原函数，其中C是任意常数.(2)f(x)在区间D上的任意两个原函数之间只相差一个常数.证(1)因为［F(x)+C］′＝F′(x)＝f(x)，这表明F(x)+C是f(x)的原函数.一、原函数的概念(2)设G(x)和F(x)是f(x)

5、在区间D上任意两个原函数，则［G(x)－F(x)］′=G′(x)－F′(x)=f(x)－f(x)=0.根据拉格朗日中值定理的推论2，便可得G(x)－F(x)=C.定理2表明，如果找到了f(x)的一个原函数F(x)，那么F(x)+C也是f(x)的原函数；而f(x)的其他任意一个原函数与F(x)之间只相差一个常数，因此f(x)的全体原函数可以表达为F(x)+C.根据原函数的这种性质，下面引入不定积分的概念.二、不定积分的概念不定积分的定义1.定义2f(x)在区间D上的全体原函数称为f(x)在区间D上的不定积分，记作∫f(x)dx，其

6、中“∫”称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.若F(x)是f(x)在区间D上的一个原函数，根据定义2和定理2，有∫f(x)dx=F(x)+C，(5-2)其中C是任意常数，称为积分常数.一般情况下积分常数用字母C表示，需要时也可用A，B或C1，C2等表示.二、不定积分的概念根据定义2可得不定积分的四个重要性质(不定积分与微分的运算关系)：二、不定积分的概念这说明，如果一个函数先积分再微分(或求导)，结果是这两种运算互相抵消；如果对它先微分(或求导)再积分，其结果与原来的函数相差一个任意常数.这四个

7、性质以后可以当公式直接使用.二、不定积分的概念【例1】二、不定积分的概念【例2】二、不定积分的概念【例3】二、不定积分的概念【例4】二、不定积分的概念【例5】二、不定积分的概念不定积分的几何意义2.设y=F(x)是f(x)的一个原函数，函数y=F(x)在平面上表示一条曲线，则该曲线上任意一点(x,y)的切线斜率为f(x)，我们称函数y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.于是，函数f(x)的不定积分∫f(x)dx=F(x)+C在几何上表示一族积分曲线，它可由f(x)的某一条积分曲线y=F(x)沿y轴方向上下平移得到.显然，积分曲线族中每一条

8、积分曲线在横坐标相同点处的切线相互平行，如图5-1所示.图5-1二、不定积分的概念【例6】二、不定积分的概念解得C=1，故所求曲线方程