广州大学版高数1.1课件.ppt

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1、第一章函数与极限关于微积分的三个问题：一.微积分的典型问题是什么？二.这些问题要用什么方法解决？三.微积分产生的历史背景是什么？前言一元微积分的两个典型几何问题:1、平面图形的面积问题；2、平面曲线的切线斜率问题.例求抛物线y=x2,直线x=1与x轴围成的图形的面积.1x0yy=x210xyy=x21、变速直线运动的速度；2、变速直线运动的路程.一元微积分两个典型的力学问题:解决的方法：用极限微积分产生的历史背景：十七世纪的欧洲，正处于工业革命时期，航海，造船，运河，渠道的修建及各种机械都在发展。造船业需要处理面积，体积，力矩，重心等的这一切促使人们寻

2、求研究物体的运动变化，曲线一般数学方法。天体运动需要研究变速运动。一般数学方法，产生了微积分。图形的开普勒行星运动的三大定律:(1)、行星沿椭圆轨道围绕太阳运动,太阳位于椭圆的一个焦点;(2)、行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过椭圆的面积相等.行星离太阳越近,速度越快,离太阳越远速度越慢.(3)、行星在椭圆轨道运行一周的时间的平方,正比于椭圆长半轴的平方.数学源于现实，且用于现实。爱因斯坦：“只有热爱才是最好的老师。”设x和y是两个变量.如果对于变量x在其取值范围D内任意取定的一个数值，变量y按照某一法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，

3、记作y=f(x).并称x为自变量，y为因变量.Wyx0Dy=f(x)yx1、定义：自变量x的取值范围D称为函数的定义域.全体函数值所成的集合W称为函数的值域.W＝{y

4、y=f(x)xD}即：·一、函数第一节函数及其表示2、函数定义中的两个要素：⑴定义域及其求法在实际问题中，函数的定义域由自变量的实际意义确定.例如：圆面积y=x2，定义域D＝（0，+）是根据圆的半径x>0确定的.若不考虑实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数时，函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值.例如：y=x2，定义域为R.邻域：设是某个正数，以点a为

5、中心的开区间（a－，a+)称为点a的邻域，记作U(a，).即U(a，)={x

6、a－

7、

8、x－a

9、<}点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.点a的邻域在不需要强调半径时，简记为U(a).0a－a+xa0a－a+xa去心邻域：将邻域的中心去掉后所得集合称为点a的去心邻域记作即：称开区间　为点a的左邻域；　为点a的右邻域.U(a，)={x

10、0<

11、x－a

12、<}=(a-,a)∪(a,a＋)o⑵对应法则在解析式表示的函数中f()表示一种“运算框架”.例如：y=f(x)=2x2+1即f()=2()2+1f(x0+1

13、)=2(x0+1)2+1f[f(x)]=2[f(x)]2+1=2•(2x2+1)2+1对于定义域中的任意一个x，对应的函数值都是唯一的，这种函数称为单值函数，否则称多值函数.以后凡是没有特别说明，函数都是单值函数.两个函数是否相同，与其变量的记号无关，也不取决于其对应规律的表达式，而决定于：定义域是否相同；当自变量给定后，所对应的因变量的值是否相同.例如：函数与函数及是同一个函数.rx－r0y当x取－r，r时，对应的函数值只有一个当x（－r，r），对应的值例如：x2+y2=r2x3、函数的表示法⑴公式法例如：A＝r2⑵表格法例如：平方

14、表、三角函数表、对数表等都是用表格表示函数关系.例狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859⑶图示法例1：绝对值函数xx≥0y=

15、x

16、=－xx<0定义域D＝（－，＋）值域W＝[0，＋）y=

17、x

18、0yx例2：符号函数1当x>0y=sgnx=0当x=0－1当x<0定义域D＝（－，＋）值域W＝{－1，0，1}01y=sgnx－1yx分段函数：在定义域的不同取值范围内，用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.其定义域是各段自变量集合的并集.值域为各段函数值集合的并集.对于任意xR，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记为

19、[x]，则y=[x]称为取整函数.……-2当-1当0当1当2当例3取整函数123y-1-3y=[x]xo1234-1-2-2-3-4定义：设函数y=f(x)的定义域为D，数集XD,如果存在正数M，使得对于xX对应的函数值f(x)都满足不等式

20、f(x)

21、M(1)则称函数f(x)在X上有界,而正数M称为f(x)在X上的一个界.1.函数的有界性二、函数的几种特性yOx－MMabM－Mx11oy例如：如果这样的正数M不存在,即:不论取怎样的正数M,总存在x1X,使得

22、f(x1)

23、M,则称f(x)在X上无界.M•若存在数M2,对xX,有f(x

24、)M2(3)则称f(x)在X上有下界,而M2称为f(x)在X的一个下界.若存在数M1,对x