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1、2004年高数（二）试题与解答一.填空题本题共6小题，每小题4分，满分24分.（1）设,则的间断点为0.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为.（3）.（4）设函数由方程确定,则.（5）微分方程满足的特解为.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.二.选择题本题共8小题，每小题4分，满分32分.（7）把时的无ŷ小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的
2、极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为（A）.（B）.（C）.（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,
3、的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.三.解答题本题共9小题，满分94分.（15）（本题满分10分）求极限.【答案】原式（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.(1)写出在上的表达式;(2)问为何值时,在处可导.【答案】(1)当,即时,.（2）由题设知..令,得.即当时,在处可导.（17）（本题满分11分）设,(1)证明是以为周期的周期函数;(2)求的值域.【
4、答案】（1）,设,则有,故是以为周期的周期函数.（2）因为在上连续且周期为,故只需在上讨论其值域.因为,令,得,,且,,又,,所以的最小值是,最大值是,故的值域是.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(1)求的值;(2)计算极限.【答案】(1),,所以.(2),（19）（本题满分12分）设,证明.【答案】设,则,所以当时,,故单调减小,从而当时,,即当时,单调增加.因此,当时,,即故.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小
5、滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注表示千克,表示千米/小时.【答案】由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记时,设时刻飞机的滑行距离为,速度为.根据牛顿第二定律,得.又,所以,积分得,由于,,故得,从而.当时,.所以,飞机滑行的最长距离为.（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.【答案】,,.
6、（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.【答案】对方程组的系数矩阵作初等行变换,有当时,,故方程组有非零解,其同解方程组为.由此得基础解系为,,,于是所求方程组的通解为,其中为任意常数.当时,当时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为由此得基础解系为,所以所求方程组的通解为,其中为任意常数.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.【答案】的特征多项式为.若是特征方程的二重根,则有,解得.当时,的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故对应
7、的线性无关的特征向量有两个,从而可相似对角化.若不是特征方程的二重根,则为完全平方,从而,解得.当时,的特征值为2,4,4,矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而不可相似对角化.
