资源描述：
《高数(二)试题与解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2003年高数（二）试卷与解答一、填空题本题共6小题，每小题4分，满分24分.（1）若时，与是等价无穷小，则a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.（3）的麦克劳林公式中项的系数是.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=3.（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则.二、选择题本题共6小题，每小题4分，满分24分.（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极
2、限不存在.(D)极限不存在.[D]（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[B]（3）已知是微分方程的解，则的表达式为10/10（A）(B)(C)(D)[A]（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx（5）设,,则(A)(B)(C)(D)[B]（6）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相
3、关.(D)当时，向量组I必线性相关.[D]三、本题满分10分设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【答案】10/10===令，有，得或.当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断点.四、本题满分9分设函数y=y(x)由参数方程所确定，求【答案】由，，得所以==当x=9时，由及t>1得t=2,故五、本题满分9分10/10计算不定积分【答案】设，则==又==，故因此==六、本题满分12分设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足
4、的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.【答案】(1)由反函数的求导公式知，于是有==.代入原微分方程得(*)(2)方程(*)所对应的齐次方程的通解为设方程(*)的特解为，10/10代入方程(*)，求得，故，从而的通解是由，得.故所求初值问题的解为七、本题满分12分讨论曲线与的交点个数.【答案】设，y则有4-k不难看出，x=1是的驻点.O1x当时，，即单调减少；当x>1时，，即单调增加，故为函数的最小值.当k<4，即4-k>0时，无实根，即两条曲线无交点；当k=4，即4-k=0时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当
5、k>4，即4-k<0时，由于；，故有两个实根，分别位于(0,1)与内，即两条曲线有两个交点.八、本题满分12分设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.【答案】(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为10/10，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0，则，故Q点的坐标为由题设知，即积分得(C为任意常数).由知C=1，故曲线y=f(x)的方程为(2)曲线y=sinx在[0，]上
6、的弧长为曲线y=f(x)的参数方程为故，令，则=九、本题满分10分有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，10/10容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2)求曲线的方程.(注：m表示长度单位M，min表示时间单位分.)【答案】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为,从而(2)液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得，即解此微分方程，得，其中C为任意常数，由知C=2
7、,故所求曲线方程为十、本题满分10分设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限存在，证明：(1)在(a,b)内f(x)>0。(2)在(a,b)内存在点，使；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使【答案】(1)因为存在，故又，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故(2)设F(x)=,,则，故10/10满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使，即.(3)因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2)的结论得，即有十一、本题满分10分若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使【答案】矩阵A的
8、特征多项式
