高三数学高考集训-2(数列).doc

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1、高三数学高考集训营数列例1．函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=（1）求f()和f()+f()的值(n∈N*)（2）数列{an}满足：an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)，数列{an}是等差数列吗？解：（1）令x=2f()=f()=令x=0f(0)+f(1)=令x=（2）an=f(0)+例2．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax

2、+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.例3．在等差数列中，，前项和满足条件，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和。解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。（Ⅱ）由，得。所以

3、，当时，；当时，，即。即。例4。已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式；（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即　例5．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得（Ⅲ）又又.例6．已知各项均为正数的数

4、列，满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．解：（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以＝…………1°因an>0，由1°式解出an＝…………2°（2）由1°式有Sn＋Tn＝＝＝为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当为整数.当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，当n³3时，＝＝只需＝为整数，因为3n－1与3互质，所以为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.例7．解：a1=S1=an=Sn-Sn-1=(4n-1)(n≥2)此时a1=∴an+1-an=∴{an}为Ap显然an≠kπ∴sina

5、n≠0又b1=sina1sina2sina3=sina1[cos(a3-a2)-cos(a3+a2)]=(a1=)∴bn=例8．设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝

6、0，　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　……8分下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．　　……10分于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an

7、＝，n＝1，2，3，…．12分例9．已知等差数列{an}的公差d≠0，在{an}中取出部分项，恰为等比数列.其中k1=1，k2=5，k3=17.(1)求Sn=k1+k2+…+kn解：由题意知：a52=a1a17即(a1+4d)2=a1(a1+16d)∵d1≠0∴a1=2d∴akn==a1q3n-1①又为Ap的第kn项∴②由①②a1≠0kn=2·3n-1-1∴k1+k2+…+kn=2(1+3+…+3n-1)-n=3n-n-1例10．设各项均为正数的无穷数列{an}{bn}，对任意n∈N*，an，bn2，an+1成A、P，bn2，an+1，bn+12成