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1、集合中的数学思想方法数学思想是历年高考的重点。其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。下面通过例题透视集合中的数学思想。一、数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的。例1已知为全集,集合为的子集,且=,,,那么集合等于()ABCD解:由于集合将全集划分为四个子集:、、、.所以借助于文氏图,可迅速做出判断,如图,易知=()()()I().将已知元素填入相应的集合,易知.即,且.故应二、等价转化思想等价转化思想就是在
2、解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用。例2已知集合,且,则实数组成的集合是_______.解:是的子集又是的真子集或或当时,当时,解得当时,解得的值组成的集合是三、分类讨论思想分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.例3设集合,集合.若是的子集,求实数的取值范围.解:是的子集可能为、、或方程中,⑴若或,则,为的子集⑵若,原方程为,为的子集⑶若,原方程为,为的子集⑷若,则,原方程有两个相异实根由是的子集得,解得综上得,当时,是的子集四、函数与方程思
3、想函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解。例4设,,,是否存在,使得,证明此结论.解:且此不等式有解,其充要条件是,即①从而即②由①②及,得代入由和组成的不等式组,得故存在自然数,使得五、运用正难则反的补集思想解题例5已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.解:运用补集概念求解设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上练习题关于的不等式与的解集分别为A和B,求使的的取值范围.解:运用子集概念求解由已知得,当时,对任意实数,不等式恒成立当时,此时综上所述,所求的取值范围是或
