习题课-6-8-多元微分学的应用ppt课件.ppt

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1、机械15091510没交作业名单:2.求函数在抛物线x轴正向的切线方向的方向导数.解:将抛物线用参数方程表示为它在点(1,2)的切线方向为上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向2.求函数在抛物线x轴正向的切线方向的方向导数.解:先求切线斜率：在它在点(1,2)的切线方向为上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向两端分别对x求导，得求可微函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在D内的所有驻点；（2）求函数在D的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相比较，最大者就是函数在D上的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据

2、问题的性质，知道函数的最大或最小值存在且一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，则该驻点就是函数在D上的最大或最小值点。解如图,得在边界和在边界上第九章习题课三、多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用一、基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续定义域及对应规律判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系偏导数连续二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导

3、符号3.利用一阶微分形式不变性三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用最小二乘法1)近似计算2)几何应用几何应用曲线↔切线(法平面)曲面↔切平面(法线)一、内容小结：多元微分学的应用曲线：参数方程情形切线：法平面：一般方程情形切线：法平面：也可表为法平面方程则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：一般方程若另：曲面：该曲面上，则相应的切平面：法线：曲面方程：，点在称

4、之为函数在l方向上的增量。如果极限存在射线l的参数方程为则称此极限为f(x,y)在点处沿方向l的方向导数。记为3)方向导数与梯度其中为轴正向到方向的转角二元函数的方向导数其中是方向l的方向余弦.三元函数的方向导数梯度注：梯度方向为方向导数取最大值的方向．或者函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为称为时为零时,则上点P处的法向量为4)极值问题必要性：可导的极值点是驻点．充分性：则时，极小值；时，极大值；时不能确定；时非极值．(1)无条件极值(2)条件极值方法：最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值．构造L

5、agrange函数单条件极值求函数在条件下的条件极值．解方程组方法：解方程组构造Lagrange函数两条件极值下的条件极值．最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值．求函数在条件(3)．函数的最大值和最小值求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值，2.求出在边界上可能的最大值﹑最小值,3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点。1.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数z=f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,且函数f(x,y)在点(0,0)

6、处的两个偏导数存在,不一定可微.则有________.P133题2解:取x为参数,故(C)正确.2.()选择题解:平面的法向量曲线的切向量:3.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g(y)=f(x0,y)在y0处一定有()A.g(y)在y0取得最大值;B.g(y)在y0取得极大值C.y0是g(y)的驻点D.以上都不对.1314ABC3.若f(x0,y)及f(x,y0)在(x0,y0)都取得极值,则f(x,y)在(x0,y0)处()A.不一定取得极值;B.取得极值;C.取得最值.D.取不到极值不一定取得极值.例如,在不取极小值.此时取极小值;在当时,分析:当时,取极小

7、值;在令A.不一定取得极值;B.取得极值;C.取得最值.D.取不到极值不一定取得极值.例如,在不取极值.但取极大值;在当时,分析:当时,取极小值;在3.若f(x0,y)及f(x,y0)在(x0,y0)都取得极值,则f(x,y)在(x0,y0)处()则(0,0)()(A).不是f(x,y)的连续点;(B).不是f(x,y)的极值点;(C).是f(x,y)的极小值点.(D).是f(x,y)的极大值点分析:4.设函数的全微分为令得驻点(0,0).在点(0,0)处为极小值;5.设函数在处