专升本 高数第二讲 连续 (详细)ppt课件.ppt

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1、第二讲函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类（一）函数连续的概念1.函数在点x0处连续，则一定满足以下

2、条件定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即则称函数y=f（x）在点x0处连续。函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右

3、连续。解右连续但不左连续,2.函数在区间[a，b]上连续定义　如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.“一笔划过”3.函数的间断点定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在

4、点x0处有下列三种情况之一：（1）在点x0处，f（x）没有定义；（2）在点x0处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且存在，但则点x0是f（x）一个间断点。换句话说：间断点例1.[9405]设f（x），则f（x）在A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续C.x=0处间断，x=1处连续D.x=0处连续，x=1处间断解：在x=0处，f（0）=0∵f（0-0）≠f（0+0）x=0为f（x）的间断点在x=1处，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1处连续［答案］C例2[9703]设f

5、（x），在x=0处连续，则k等于A.0B.C.D.2分析：f（0）=k［答案］B例3[0209]设在x=0处连续，则a=解：f（0）=e0=1∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=11.跳跃间断点例解间断点的分类2.可去间断点例解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如上例中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx3.第二类间断点例解例解例解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点所以x=-1是函数的无穷间断点所以x

6、=0是函数的跳跃间断点(Ⅰ)(Ⅱ)所以x=1是函数的可去间断点(Ⅲ)解分界点为x=1,x=2（i）当x=1时所以x=1是函数的跳跃间断点练习：考察函数（ii）讨论x=2而f(2)=5所以x=2是函数的连续的点因此,分段函数的分界点是可能间断点例解（二）函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）　　，（2）f（x）·g（x），（3）若g（x0）≠0，都在x0处连续。定理基本初等函数在定义

7、域内是连续的.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。（三）闭区间上连续函数的性质在闭区间

8、[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。定理1.16（最大