专升本-高数第三讲--导数与微分--(详细)课件.pptx

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1、第三讲导数与微分求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。导数我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中的重要概念—导数。1.定义如果函数f(x)在点x0

2、处的导数存在，那么称函数f(x)在点x0处可导，反之，称为不可导。1、导数的定义导函数注意：记为例题.设存在，且则等于A.1,B.0,C.2,D.0.5分析：导数定义的本质：左、右导数2、单侧导数左导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例题.讨论在处的连续性与可导性.解：所以在处连续所以因此在处可导。题目的函数为：当时，所以因此从而在处可导。判断可导性的另一种方法：2.导数的几何意义曲线的切线的斜率即为函数的导数。法线方程为：例求曲线在点（2，8）处得切线方程和法线方程。解在点（2，

3、8）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所求法线斜率为于是所求法线方程为定理2.1如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。3.可导与连续的关系由导数定义可知：可导必连续不连续必不可导函数连续是函数可导的必要条件可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。例求是否连续可导解：f（x）在x=0处连续。∵f'-(0)≠f'+(0)∴f（x）=∣x∣在x=0处不可导例解(二)曲线的切线方程及法线方程例[9704]设函数f（x）满足，则f'(0)=解

4、：例[0303]己知函数f(x)在点x0处可导，且f‘(x0)=2，则等于_____4(三)求导公式函数在任意点x处的导数仍是x的函数，称为f(x)的导函数。1.基本导数表2.函数和、差、积、商的导数3.复合函数和反函数的导数或☆注意：与的区别表示复合函数对自变量求导复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量求导例求下列函数的导数例设，求解例设，求解，求例设4.反函数求导法则如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数例求导[0602]设函数y=e2x+5，则y’=y’=（e2x+5）'=e2x﹒

5、（2x）'=2e2x例：设函数f（cosx）=1+cos3x，求f'（x）解：设cosx=t，则f（t）=1+t3，即f（x）=1+x3，所以f'（x）=3x2=3cos2x利用导数定义求导数的解题步骤：注意：隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。故隐函数只是一种方程形式，不可能都具有反函数，因为反函数的存在要求原函数是一一对应函数，如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般

6、用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。(1)隐函数的导数例求由方程所确定的隐函数的导数解:方程两端对x求导数，得例求椭圆在点处的切线方程.解:所求切线斜率为方程两边对x求导,得利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。(2)对数求导法两边对x求导数，得解：两边取对数，得例求函数的导数.(3)参变量函数的求导法则解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线t=1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为y=－x求曲线在t=1处的切线方程例（四）求导方法隐函数的导数(2)对数求导法方一：解出方程y=f(x)+再求导；方二：

7、等号两边同时对x求导先取对数+再求导对数求导法适用于幂指函数以及多因子乘积（或商）函数的导数方二在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即把y视为中间变量。(五)高阶导数1.高阶导数概念为了形式上统一即有[y（n-1）]′=yn(n=2，3，4……)，二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数例设y=sin2x则y′′=____解：y′=cos2x(2x)′=2cos2xy′′=2(-sin2x)(2x)′=-4sin2x则y′′=____例例3[0311]设函数y=x2+e2x,则y的50阶导数y（50）=______.微分微分Δ

8、y=AΔx+o(Δx)1.微分的定义微