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1、第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言9.2简单的数值方法与基本概念9.3龙格-库塔方法9.4单步法的收敛性与稳定性9.5线性多步法9.6方程组和高阶方程9.1引言科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题.本章将着重考察一阶方程(组)的初值问题x>x0定理1设f(x,y)在某区域D={(x,y)
2、a≤x≤b,c≤y≤d}上关于x,y连续，关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件：则对任意(x0,y0)∈D,初值问题(1.1,1.2)的解y＝f(x)局部存在并且唯一.若D={(x,y)
3、a≤x≤b,y∈R}，则解在[a,b]上整体存在.定理2在定理1的条件下，有关于初值
4、s的连续依赖性:
5、y(x,s1)-y(x,s2)
6、≤eL
7、x-x0
8、
9、s1-s2
10、.虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但毕竟只能用来求解一些特殊类型的方程，如：一阶线性、变量分离型、全微分方程、齐次方程、Bernoulli方程等，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.此处数值解法,就是寻求解y(x)在一系列离散节点上的近似值y1,y2,,yn,yn+1,.相邻两个节点的间距hn=xn+1-xn称为步长.今后如不特别说明，总是假定hi=h(i=1,2,)为定数,这时节点为xn=x0+nh(i=0,1,2,)(等距节点).初值问题的数值解法的基本特点：采取“步进
11、式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.即：给出用已知信息yn,yn-1,yn-2,计算yn+1的递推公式.(recurrence)1、要对微分方程离散化，建立求解数值解的递推公式.一类是计算yn+1时只用到前一点的值yn，称为单步法.另一类是用到yn+1前面k点的值yn,yn-1,,yn-k+1，称为k步法.2、引入公式的局部截断误差和阶的概念，研究收敛性及数值解yn与精确解y(xn)的误差估计，还有递推公式的计算稳定性等问题.9.2简单的数值方法与基本概念9.2.1（向前）欧拉法与后退欧拉法的构造我们知道，在xy平面上，微分方程(1.1)式的解y=f(x)
12、称作它的积分曲线，积分曲线上一点(x,y)的切线斜率等于函数f(x,y)的值.如果按f(x,y)在xy平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.构造法1基于初值问题的上述几何解释，我们从初始点P0(x0,y0)出发,先依方向场在该点的方向推进到x=x1处一点P1，然后再从P1点依方向场在该点的方向推进到x=x2处一点P2,依次前进做出一条折线P0P1P2.一般地，设已做出该折线的顶点Pn,过Pn(xn,yn)依方向场的方向f(xn,yn)再推进到Pn+1(xn+1,yn+1)，由这就是著名的(显式)欧拉(Euler)公式.若初值y0已
13、知，则依公式(2.1)可逐次逐步算出各点数值解.欧拉公式具有明显的几何意义,就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法.便得构造法2如果对方程(1.1)从xn到xn+1积分，得右端积分用左矩形公式hf(xn,y(xn))近似，再以yn代替y(xn)，yn+1代替y(xn+1)也得到欧拉公式(2.1).称为(隐式)后退的欧拉公式.如果右端积分用右矩形公式hf(xn+1,y(xn+1))近似，则得到另一个公式后退的欧拉公式与（向前的）欧拉公式有着本质的区别,后者是关于yn+1的一个直接计算公式，这类公式称作是显式的；前者公式的右端含有未知的yn+1，它实际上
14、是关于yn+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的.构造法3数值微分构造法4Taylor展开式构造法5其他方法，如显化的Eular法：yn+1=yn+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))例1用欧拉公式求解初值问题解取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为其中xn=nh=0.1n(n=0,1,,10),已知y0=1,由此式可得依次计算下去，部分计算结果见下表.与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度不高.xn欧拉公式数值解yn准确解y(xn)误差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.
15、3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719显式与隐式两类方法各有特点：隐式方法有利于数值稳定性，显式算法有利于计算.隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化，一开始可以借用显式公式给出迭代初值：用显式欧拉公式给出迭代初值，用它代入隐式(2.5)式的右端，使之转化为显式，直接计算得然后再用代入(2.5)式，又有如此反复进行，得由于f(x,y)对y满足Lipschitz条件(1.3).
