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1、第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算问题引航1.空间向量的定义是什么?单位向量、零向量、相反向量、相等向量的定义分别是什么?2.空间向量的加法、减法运算满足哪些运算法则与运算律?1.空间向量的概念(1)两个特征:_____,_____.(2)向量的模(长度):指的是向量的_____,也可看作表示向量的有向线段的_____.(3)表示法:①几何表示法:空间向量用_________表示;②字母表示法:用字母表示,若向量的起点是A,终点是B,可记作a.也可记作
2、____,其模记为
3、a
4、或_____.大小方向大小长度有向线段2.几类常见的空间向量名称方向模记法零向量_____________单位向量__相反向量_____相等a的相反向量:___的相反向量:_____相等向量相同_____a=b任意方向001相反-a相等3.向量的加法、减法空间向量的运算加法=a+b减法=a-b加法运算律(1)交换律:a+b=____(2)结合律:(a+b)+c=________b+aa+(b+c)1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量,有
5、向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大.( )(2)空间两非零向量相加时,一定可用平行四边形法则运算.( )(3)0向量是长度为0,没有方向的向量.( )(4)若
6、a
7、=
8、b
9、,则a=b或a=-b.( )【解析】(1)正确.向量的模可以比较大小,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大.(2)错误.若空间两向量为共线向量,此时不能用平行四边形法则进行运算.(3)错误.0向量是模为0,方向任意的向量.(4)错误.
10、a
11、=
12、b
13、说明a与b长度相等,但两向量不一定共线.答案:(1)√ (2)×
14、 (3)× (4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成的图形是.(2)在空间四边形ABCD(字母顺次连接)中,连接AC,BD,则为.(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简后的结果是.【解析】(1)在空间中把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成的图形是以单位向量的起点为球心,以1为半径的球面.答案:球面(2)答案：(3)由正方体的性质可得答案：【要点探究】知识点1空间向量及有关概念1.理解空间向量概念时的四个关注点(1)
15、两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分.(2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.(3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.(4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量.2.对零向量的三点说明(1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”.(2)长度的固
16、定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等.(3)规定:零向量与任何向量平行.【微思考】(1)空间向量与平面向量的概念有哪些共同特征?提示:空间向量与平面向量的共同特征是具有大小与方向.(2)两空间向量为什么不能比较大小?提示:每个向量都是由大小与方向两个因素构成,其中长度可以比较大小,但方向无法比较大小,所以向量不能比较大小.【即时练】给出下列命题:①若
17、a
18、=0,则a=0;②若a=0,则-a=0;③
19、-a
20、=
21、a
22、,其中正确命题的序号是.【解析】①若
23、a
24、=0,则a=0,故①错误;②正确;③正确
25、.答案:②③知识点2空间向量的加法、减法运算1.空间向量加法、减法运算法则(1)语言叙述:加法,“首尾顺次相接,由首指向尾”;减法,“起点相同,尾尾相连,指向被减”.(2)图形叙述:①向量加法三角形法则:特点:首尾相接,首尾连②向量加法平行四边形法则:特点:共起点③向量减法三角形法则:特点:共起点,连终点,方向指向被减数2.特殊位置关系的加减法(1)共线向量:共线向量相加时不能利用平行四边形法则,可利用三角形法则.(2)共终点向量:共终点的向量相加减,可通过平移两向量使两向量共起点再选择合适的运算法
26、则进行加减运算.(3)常用关系与常用数据:①△ABC中,=0;②以a,b为邻边的平行四边形中,a±b表示平行四边形的对角线;③0+a=a.【知识拓展】向量的移项向量的减法是由向量的加法来定义的,减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.由此可得出向量的移项方法,即将其中任意一个向量变号后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立,如a+b+c=d可得a+b=d-c.【微思考】(1)首尾相接的若干个空间向量的和如何求?提示:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾
