DSP+第02章++离散傅里叶变换(DFT)ppt课件.ppt

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1、2.1离散傅里叶变换(DFT)2.2快速傅里叶变换(FFT)2.3离散卷积2.4FFT应用第2章离散傅里叶变换(DFT)12.1离散傅里叶变换(DFT)2.1.1DFT定义2.1.2DFT推导2.1.3DFT性质2.1.4DFT的矩阵计算22.1.1离散傅里叶变换的定义1.定义设x(n)是一个长度为N的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为(3.1.2)式中，，N称为DFT变换区间长度，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。3证明IDFT［

2、X(k)］的唯一性。证明：把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有为整数为整数所以，在变换区间上满足下式：IDFT［X(k)］=x(n),0≤n≤N-1由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。4例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。解：设变换区间N=8，则设变换区间N=16，则n16161615n52.DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含了周期性

3、，且周期为N。对任意整数m，总有均为整数所以(3.1.1)式中，X(k)满足同理可证明(3.1.2)式中x(n+mN)=x(n)6实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即为了叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：(3.1.7)7图3.1.2有限长序列及其周期延拓82.1.2DFT推导1.由Z变换推导由Z变换可知，非周期序列x(n)的Z变换为对于有限长序列x(n)(n=0,…,N-1)，X(z)的收敛区域总包括单位圆。若在单

4、位圆的N个均分点上计算Z变换，得周期序列为9上式两边乘以，再对k从0~N-1求和，得这说明，长度小于或等于N的有限时宽序列可以用它的Z变换在单位圆上的N个取样精确地表示，或有限时宽序列的DFT相当于其Z变换在单位圆等间隔点上的取样。Z平面IR2π/N10图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系X(z)~X(ejω)~X(k)112.由离散傅里叶级数推导如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数为(3.1.8)(3.1.9)式中(3.1.10)123.由连续傅里叶变换推导设xa(t)与Xa(

5、jΩ)构成傅立叶变换对，则(1)时域采样：将xa(t)离散化其频谱为X(ejω)，是以2π为周期的周期函数，即13(2)时域截断：将xa(nT)由无限变为有限时宽x(n)x(n)=xa(nT)•w(t)其中且N=T0/T也即此时频谱为X(ejΩT)*W(jΩ)，是Ω的连续周期函数。14(3)频域采样：将频谱离散化为周期序列，其时域函数为显然，是以T0（T0=NT）为周期的序列，故其一周内恰好为原信号xa(t)的N个采样值。15将上述求解，得令显然完全由X(k)确定，而X(k)是以N为周期的序列，且在

6、0~N-1区间上xa(nT)可用x(n)表示，于是16同样，可推导出显然，当时域采样满足时域采样定理时，频域不会发生混叠，这时，在0~N-1区间上定义的X(k)恰好表示Xa(jΩ)在带限区域内的采样值；而当频域采样满足频域采样定理时，时域才不会发生混叠，在0~N-1区间上定义的x(n)才能代表x(t)的有效采样值。上述推导说明，离散傅立叶变换与连续傅立叶变换有密切关系。172.1.3DFT性质DFT有许多性质与连续、序列傅里叶变换相似，但也有其独特性，这主要源于它所隐含的周期性，即循环性。1.线性性

7、如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2y(n)=ax1(n)+bx2(n)0≤n≤N-1式中a、b为常数，N=max[N1,N2]，则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。该性质说明，DFT适用于离散线性系统。182.循环位移性质若x(n)X(k)成立，则x(n-n0)X(k)称为时间位移性(1)或x(n)X(k-k0)称为频率位移性(2

8、)(1)说明时域信号的加载时刻，对信号DFT的幅度不产生任何影响，只在频域引入一线性相移。(2)说明用特定频率的余弦（或正弦）对信号进行调制，其结果是信号的频谱发生了位移（以调制频率为中心）。由于x(n)与X(k)的周期性，使DFT的位移呈现循环特性。19图3.2.1循环位移过程示意图203.对称性若x(n)X(k)成立，则x*(n)X*(-k)（复共轭序列的DFT）或x*(-n)X*(k)或(1/N)X(n)x(-k)说明DFT的时域与频域具有对偶关系。21证明：根