082线代期中复习指南

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1、线代第一章复习指南行列式整理：夏晗一．基本定义1.行列式的定义2.定理：n元线性方程组的系数行列式不等于零时，方程组有唯一解。3.顺序和逆序：按照排列的顺序任取两个数（ijik）j>k若ijik构成逆序逆序数就是逆序的数量，标记为τ。逆序数+顺序数=n(n-1)/2逆序数是偶的叫偶排列，反之叫奇排列。4.对换改变排列的奇偶性。5.在全部的n(n>1)阶排列中奇偶各占一半。6.行列式的一般式和定义式需要到书上找，这个是需要记下来的。7.如果行列式有一行为零，则行列式为零。8.上三角，下三角及对角行列式等于主对角线上n个元素乘积

2、。二．性质1.行列互换值不变（DT=D）2.交换行列式两行对应元素的位置，行列式变号。推论：若一个行列式有两行相同，则其值为零。3.数乘：乘到某一行就行了。推论1：可提公因子。推论2：两行对应成比例，其值为零。4.如果第i行各元素都是两个元素的和，可将其写成两个行列式的和，就是分别拆开就行了。5.行列式某一行的各元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。6.n阶行列式D等于它的任一行的各元素与他们的代数余子式的乘积之和。（代数余子式就是划去i行j列，剩下的M，符号是（-1）的i+j次方）推论引入了一个克罗内克符号：i=j时为1，i不=j时为0

3、。三．常见的行列式计算除了按照定义和性质死算的简单行列式外，书中介绍了两种：n阶三角行列式和范德蒙德行列式的算法，公式书上都已证出。四．拉普拉斯展开定理k阶子式：交叉组成的k阶行列式余子式：划去n的行列后剩下的n-k阶代数余子式：加符号：-1的划去的所有下标的和的次方。定理：设在n阶行列式中取定某一行（1

4、克拉默法则n元线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有且仅有唯一解。对于方程组：∑（j=1~n）aijxj=bi，i=123……推论1：如果bi都为零且D不=0，则它只有零解。推论2：如果bi都为零且有非零解，则D=0。D=0是会有多解或无解产生，需要讨论。线代复习指南第二章矩阵整理：吴昳婷矩阵加法：性质详见P41命题2.1数乘：记为kA，即用k乘以A的每个元素。性质详见P42命题2.2矩阵乘法：不是任何两个矩阵都可以相乘。若A：m×nB:p×q只有n=p时，AB才能相乘，若C=AB，C：m×q矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。若AB

5、=BA，则称A与B可交换。注：单位矩阵和数量矩阵与任何同阶方阵可交换。方阵的幂：A0=En

6、Am

7、=

8、A

9、m

10、kA

11、=kn

12、A

13、矩阵的转置：A为对称矩阵的充要条件：AT=AA为反对称矩阵的充要条件：AT=-A性质详见P49命题2.5逆矩阵：若AB=E（或BA=E）则A，B可逆，B，A分别是其逆矩阵。记作B=A-1A=B-1若逆矩阵存在，则其唯一。伴随矩阵：

14、A

15、中元素aij的代数余子式的转置，记作A*因为AA*=A*A=

16、A

17、E所以A-1=1/

18、A

19、×A*A可逆充要条件：

20、A

21、≠0若

22、A

23、≠0，则称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵。若A，C分别是m

24、阶n阶可逆矩阵，B为m×n矩阵则AXC=B存在唯一解：X=A-1BC-1可逆矩阵性质：（kA）-1=1/k×A-1

25、A-1

26、=1/

27、A

28、详见P54命题2.7分块矩阵：同类型矩阵按同样方法分块，可相加，分块分别相加即可。A：m×pB:p×q,显然A，B可相乘。若使A的列分法与B的行分法一致，则AB可分块相乘。将每个子块看成一个元素做矩阵乘法，字块也做矩阵乘法即可。注：乘法分块时，把零分在一起，这样子块乘积为零会简便很多。分块矩阵的转置：详见P59矩阵的初等变换：1.交换两行（列）2.某行（列）每个元素乘以同一个不为零的数3.某行（列）加上另一行（列

29、）对应元素的相同倍数阶梯型矩阵：详见p60定义2.12任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯型矩阵简化的阶梯型矩阵（规范的阶梯型矩阵）：1.每个非零行的第一个非零元素为12.每个非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素全为零任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为简化的阶梯型矩阵标准型矩阵：1.非零矩阵左上角为单位矩阵，其他位置元素都为零。任何矩阵都可以经过初等变换化为标准型矩阵。矩阵的秩：在矩阵A中任取k行k列，交叉点上k2个元素按其相对位置组成的k阶行列式称为A的一个k阶子式。矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数。性质详见p63命题2.

30、8初等变换不改变矩阵的秩。初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。m阶初等矩阵左乘m×n矩阵A，相当于对矩阵A作相应初等行变换。