第四章 根轨迹分析法ppt课件.ppt

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1、3.5某控制系统的方块图如图3-34。3、求解在这个Kc（Kc＝1.43）下，系统过渡过程的峰值时间和稳态误差。1、当调节器增益Kc=1,且系统的输入为单位阶跃干扰，试求系统的输出响应。第四章根轨迹分析法系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性。l研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计调节器（设计问题）。l研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性之间的定性、定量关系（分析问题）；l根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平面的位置（设计问题）；伊凡思(W.R.Evans)创立根轨迹法（1948）－几何图解求解特征

2、根l系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。l可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。l可用于单变量系统和多变量系统。l常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。l利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控制系统。本章主要内容以K为变量的常规根轨迹的绘制方法以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法根轨迹分析方法的应用－利用根轨迹分析和设计控制系统4.1根轨迹的概念定义：根轨迹—系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。1根轨迹举例例4-1二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。

3、－K开环传递函数：分析：有2个开环极点没有开环零点。闭环特征方程求出2个闭环特征根：（4-1-1）闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化，闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环传递函数：K取不同值：（等于两个开环极点）ImRe0(两根重合于－0.5处)（即0≤K≤1/4，两根为实根）××﹣1﹣0.5(两根为共轭复数根，其实部为－0.5)●●总结：有两个闭环极点，有2条根轨迹。根轨迹是从开环极点出发点。通过选择增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上。如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。ImRe0××﹣

4、1﹣0.5●●这是个？阶系统，2根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。－K例4-2对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数ζ=0.5，确定系统闭环特征根。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。解：阻尼角θ计算如下：×ImRe0×﹣1﹣0.5●阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K值可以计算出来。与（4-1-1）式比较得：即K=1。（4-1-1）获得系统的根轨迹有两个方法：图解法：利用Evans总结的规律画出根轨迹。－近似、简单，尤其适合高阶系统解析法：对闭环特征方程解析求解，逐点描绘。－精确，工作量大×ImRe0×

5、﹣1﹣0.5●4.2根轨迹绘制的基本规则1、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图:G(s)H(s)－其开环传递函数：（4-2-1）其中：K:开环增益—开环零点—开环极点×闭环传递函数：闭环特征方程为：它们满足：G(s)H(s)－G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：-1φ绘制根轨迹必须满足的基本条件：（相角公式：积的相角等于相角的和，商的相角等于相角的差）幅值条件相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）注意：1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，

6、就构成了根轨迹。2.观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。画法：利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹。确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。相角条件幅值条件例4-3某系统开环传递函数分析：在s平面上，○表示开环零点，×表示开环极点。2个开环极点p1和p2。设s是系统的一个闭环特征根，相角条件：可以通过幅值条件，求出此s值下的K值:○××●s则它必须满足：一个开环零点z1，2、绘制根轨迹的基本规则例4-4要求画出根轨迹。某单位反馈系统分析：1个开环零点，3个开环极点，0●

7、-5×××-2-10规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次=开环极点数例中，规则二、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。根轨迹是K从0→∞时的根变化轨迹，因此必须起于K=0处，止于K=∞处。观察幅值条件：如果n>m,m条根轨迹趋向开环的m个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。规则三、根轨迹的连续对称性：根轨迹各

8、分支是连续的，且对称于实轴。证明：（1）连续性从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。证明：（2）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。*规则四、实轴