根轨迹分析法培训讲学.ppt

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1、根轨迹分析法2、开环传递函数Φ’(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)∴闭环特征方程由开环传递函数加“1”组成3、传递函数的零点和极点若G(s)为闭环传函，则-z和-p为闭环零、极点;若G(s)为开环传函，则-z和-p为开环零、极点。必须指出：a闭环极点就是特征根。b根轨迹的实质，就是从开环零极点来求取闭环极点c单位反馈系统的闭环零点就是开环零点4、零点与极点表示法零点:-z1=-2,-z2=-3极点:-p1=1,-p2=-1,-p3=-1+j,-p4=-1-jGHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s

2、-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG结论：1零点、2极点、3根轨迹增益闭环零极点与开环零极点的关系三图解法求作根轨迹的基本条件1、有关复数一个复数可以用不同的形式表示,如z=α+jβ①矢量形式:z=∣z∣∠φ其中幅值∣z∣=√α2+β2相角φ=tg-1(β/α)②指数形式:z=∣z∣ejφ③图形表示复数相加:z1=α1+jβ1z2=α2+jβ2则z1+z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2复数相

3、乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2)复数相除:z1/z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)2、根轨迹方程闭环特征根和开环零、极点也可以是复数，因此复数形式也可用到传递函数中来。根轨迹上每个点都是上述方程的根，或者说凡平面上满足上式的点都在根轨迹上，根轨迹就是这些点的集合，称为根轨迹方程。根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)πk=0,±1,±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-p

4、i︱︱i=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件确定根轨迹上某点对应的K*值1、相角条件∠(s+zi)-∠(s+pj)=0-[∠(s+1)+∠(s+2)]=±180o(2k+1)试差法s=-1.5∠θ1+∠θ2=180os=-1.5+j1.5∠θ1+∠θ2=180os=-1.5-j1.5∠θ1+∠θ2=180o找出足够多的点，连接而成根轨迹2、幅值条件不同特征根s，就对应了不同的K值。4-2绘制根轨迹的基本法则1根轨迹的起点和终点由幅值条件：K=0时,s=-pi，即根轨迹始于开环极点；K=∞时,s=-zj，即根轨迹终于开环零点。极点多

5、于零点时，只有s→∞才有K=∞，则此时根轨迹将趋于无穷远。2根轨迹的支数根轨迹支数=闭环极点数=开环极点数3根轨迹的对称性由于特征方程的根1+G(s)H(s)=0只有实根和共轭复根两种，故根轨迹必在实轴上或是对称于实轴。4实轴上的根轨迹在实轴的根轨迹上任取一点s1，则其与开环零极点间构成的矢量有三种可能：(1)开环零极点为共轭复数,如(2)开环零极点在左边实轴上如-p2和–z2也有θ2=0φ2=0所以φ2+θ2=0(3)开环零极点在右边实轴上如-p1和–z1则φ1+θ1=1800根据相角条件，前两种情况矢量角为零，不需考虑。只要考虑开环零极点在右边

6、实轴上的情况。设s1右边有a个极点和b个零点，由相角条件可知：b1800–a1800=±(2k+1)1800(k=1,2,….)b–a=±(2k+1)即结论为：实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极点，则它必在根轨迹上。六、根轨迹的渐近线有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其中θ=式中，k=0，1，2，…一直取够n-m个夹角为止。渐近线与实轴交点的坐标以-σa表示，则-σa=±180°（2k+1）n—mn—mΣ（-pj）—Σ（-zi）J=12i=1nm例已知系统的开环传递函数为GK（s）=试在s平面上

7、确定根轨迹渐近线的方位。解：系统有4个开环极点和1个开环零点：-p1=0，-p2=-1+j1，-p3=-1-j1，-p4=-4；-z1=-1。可知有3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线的方位是：截距：-σa=Kg（s+1）s（s+4）（s2+2s+2）（0）+（-1+j）+（-1-j）+（-4）-（-1）4-1=-夹角：θ=当k=0，1，2时，θ=60°，180°，300°。3条渐近线如图的虚线所示。53180°（2k+1）3jws平面0-1-221-3-2-1-453-χχ七、根轨迹的分离点和回合点两条根轨迹分支在s平面上的某点相遇，然后又立即分开的点，叫做根轨

8、迹的分离点（或会合点）。图所示为两条根