反常积分与含参变量的积分 习题课ppt课件.ppt

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1、第十二章反常积分与含参变量的积分12.3含参变量的积分第十九节反常积分与含参变量积分的习题课定理（柯西收敛准则）与有无穷积分收敛一.判别无穷积分收敛的方法1.利用定积分和极限算出无穷积分2.定理定理设有c是正常数。收敛，则无穷积分若无穷积分也收敛.发散，则无穷积分2.若无穷积分也发散.推论函数且极限1.若则无穷积分收敛；则无穷积分发散。2.若（1）绝对收敛,条件收敛的定义定义若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛。定义若无穷积分收敛，而发散，则称无穷积分条件收敛。定理（狄利克雷判别法）设函数　与　　在区间　　有定义，在任何有穷区间　　　都可积，若１)积

2、分　　　　　为　的有界函数，即　　　　　　　有２）函数　　是单调的，且则无穷积分　　　　　收敛．定理（阿贝尔判别法）设函数　与　　在区间　　　有定义，在任何闭子区间　　　都可积，若１）函数　　在　　　单调并且有界．２）无穷积分　　　　　收敛．则无穷积分　　　　　　　收敛．定理设　　　　　有c是正常数。若瑕积分　　　　收敛（是瑕点），也收敛．则瑕积分2.若瑕积分　　　　发散（是瑕点），则瑕积分　　　　也发散。二、暇积分的敛散性判别法推论设　　　　　若函数是瑕点，且极限１）若　　　　　　，则瑕积分收敛．２）若　　　　　，则瑕积分发散．三含参变量的有限及无

3、穷积分的分析性质1.连续性2.积分号下可积分3.积分号下可微分4.上下限跟参变量有关的有限积分的求导5.证明含参变量的无穷积分一致收敛1.连续性质定理若函数　　　在矩形域连续，则函数在区间　　　也连续．定理设在上连续，且无穷积分在上一致收敛，则一元函数在　上连续。定理若函数　　　与　　在矩形域连续，则函数在区间　　可导，且，有或2.可微性质定理若函数　　　与　　在矩形域连续，而函数与在区间　　可导，且，有则函数在区间可导,且定理若函数与在区域上连续，且无穷积分在区间上收敛，而无穷积分在区间一致收敛,则函数在区间可导,且定理若函数　　　在矩形域连续，则

4、函数在区间　　可导，且4.可积性质定理设在区域上连续，且无穷积分在上一致收敛，则一元函数在可积,且积分号下可积分.五.无穷积分一致收敛的判别方法定理若且无穷积分收敛,则无穷积分在区间一致收敛.定理狄利克雷判别法若　　　　　　　满足：１）当　　　　时,积分　　　　　对一致有界；２）　　　是　　的单调函数，且时，关于一致趋于０．则无穷积分　　　　　　　　在上一致收敛．定理阿贝耳判别法若　　　　　　　满足：则无穷积分　　　　　　　　在上一致收敛．1)关于一致收敛;2)函数　关于单调,且关于在上一致有界.一.判断下列积分的收敛性n为正整数。答案一：解积分是无

5、穷积分无穷积分收敛。解解解发散发散。解解原积分收敛。二.判别下列函数的敛散性(说明是绝对还是条件收敛).单调趋于0.三.证明下列函数在指定区间一致收敛.三、四.计算下列积分四.解：五.设求解6计算下列积分6（1）解7.用积分号下可微分,求下列积分7.8.计算定积分解：练:1.设其中是可微函数,求解：2判断下列积分的收敛性3判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛.解：(2)解：