反常积分与含参变量的积分习题课北工大

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1、第十四节反常积分与含参变量的积分习题课一.含参变量的积分1.连续性质定理１若函数　　　在矩形域连续，则函数在区间　　　也连续．定理2设在上连续，且无穷积分在上一致收敛，则一元函数在　上连续。(一).利用连续性极限和积分可交换顺序1.2计算极限定理3若函数　　　与　　在矩形域连续，则函数在区间　　可导，且，有或二.可微性质定理４若函数　　　与　　在矩形域连续，而函数与在区间　　可导，且，有则函数在区间可导,且定理5若函数与在区域上连续，且无穷积分在区间上收敛，而无穷积分在区间一致收敛,则函数在区间可导,且(二)利用可微性求导与积分可交换顺序

2、1.计算积分2.设其中是连续函数,求3.证明:若函数在区间连续,则有定理6若函数　　　在矩形域连续，则函数在区间　　可积，且三.可积性质定理7设在区域上连续，且无穷积分在上一致收敛，则一元函数在可积,且积分号下可积分.(三)利用可积性积分可交换顺序1.计算积分四.无穷积分一致收敛的判别方法定理8若且无穷积分收敛,则无穷积分在区间一致收敛.定理9狄利克雷判别法若　　　　　　　满足：１）当　　　　时,积分　　　　　对一致有界；２）　　　是　　的单调函数，且时，关于一致趋于０．则无穷积分　　　　　　　　在上一致收敛．定理10阿贝耳判别法若　　　

3、　　　　满足：则无穷积分　　　　　　　　在上一致收敛．1)关于一致收敛;2)函数　关于单调,且关于在上一致有界.(四)证明下列各题在R上一致收敛．在　　　上不一致收敛．其中　　　是常数．一致收敛．定理11设有c是正常数。收敛，则无穷积分若无穷积分也收敛.发散，则无穷积分2.若无穷积分也发散.五.积分收敛的判别方法定理12设　　　　　有c是正常数。若瑕积分　　　　收敛（是瑕点），也收敛．则瑕积分2.若瑕积分发散（是瑕点），则瑕积分　　　　也发散。推论1函数且极限1.若则无穷积分收敛；则无穷积分发散。2.若推论2设　　　　　若函数是瑕点，且极

4、限１）若　　　　　　，则瑕积分收敛．２）若　　　　　，则瑕积分发散．注:关键是找到合适的.(五)判断下列积分的收敛性(六)判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛.