三角函数的综合应用ppt课件.ppt

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1、要点梳理1.三角函数的综合应用就是利用三角函数的_____、_____和_____及其两角和与差解三角函数,综合解决有关复杂的数学问题,特别是求最值.2.向量的_________或向量的坐标可化为________进行计算.在三角形中研究三角函数问题与______、_____定理的结合,注意角的范围.§3.7三角函数的综合应用基础知识自主学习定义图象性质夹角问题三角形式正弦余弦3.求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下列基本类型处理:(1)y=asinx+b,设t=sinx化为一次函数y=at+b在闭区间t∈[-1,1]上的最值问题;(2)y=asinx+b

2、cosx+c,引入辅助角化为求解方法同类型(1);(3)y=asin2x+bsinx+c,设t=sinx,化为二次函数y=at2+bt+c在t∈［-1,1］上的最值问题;(4)y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c,设t=sinx±cosx,化为二次函数在闭区间t∈[-,2]上的最值问题;(5)设t=tanx,化为用判别式法求值;当ab>0时,还可用基本不等式求最值;(6)根据正弦函数的有界性,既可以用分析法求最值,也可以用不等式法或数形结合法求最值.4.求三角函数的最值的主要方法:(1)配方法;(2)化为同一个角的三角函数;(3)数形结合法;④换元法;⑤基本不等式法.5.

3、用换元法解题,特别要注意sinx±cosx与sinxcosx的关系，令sinx±cosx=t，则sinxcosx=6.讨论三角函数的单调性,解三角不等式,要注意数形结合思想的运用.注意函数性质在解题中的运用.7.若一个函数为周期函数,则讨论其有关问题,可先研究在一个周期内的情形,然后再进行推广.基础自测1.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为______km.解析2.(2009·安徽改编)设函数f(x)=+tanθ,其中则导数f′(1)的取值范围是________.解析由已知f′(x)=sinθ·x2+cosθ·x,3

4、.当x∈(0,)时函数的最小值是____.解析∵0

5、),且a⊥b.(1)求tanα的值;(2)求的值.解(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又∵a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),故a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.解之,得【例2】(2009·福建)如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.(1)求A,ω的值和M,P两点

6、间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长？分析主要通过建立三角函数模型求解,但要求解析式和设角求解.解(2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.设∠PMN=θ,则0°<θ<60°.由正弦定理得∵0°<θ<60°,∴60°<θ+60°<120°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.即将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.跟踪练习2已知a=b=f(x)=a·b.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)若y表示某海岸港口的深度(m),x表示一天内的时间(h)；当水深不低于5m时，船才能驶入港口,求一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有多少小时？解则12k+1≤

7、x≤12k+5,(k∈Z).又0≤x≤24,∴1≤x≤5或13≤x≤17.则一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有8小时.【例3】(2010·扬州调研)已知函数(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;(2)当a<0,且x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.求单调区间关键是转化为y=Asin(ωx+)的形式,注意a的讨论,求值域要利用单调性.解分析跟踪练习3设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+