现代数值计算方法第五章ppt课件.ppt

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1、第五章数值积分与数值微分2个研究对象:1、用数值(近似)方法求定积分:2、用数值(近似)方法求微分:4个需要关心的问题：1、为什么要用数值(近似)方法？2、有哪些数值(近似)方法？3、数值(近似)方法的精度如何？4、如何实现这些数值(近似)方法？§5.1插值型求积公式一、数值积分方法的基本思想二、代数精度的概念三、插值型求积公式一、数值积分方法的基本思想其中F(x)是f(x)的原函数，即方法一：牛顿—莱伯尼兹(Newton-Leibniz)公式：研究对象1：怎样求定积分？主要有两种方法：存在的问题：例：（1）原函数

2、难求，无解析式！（2）f(x)仅提供样本值对连续函数，根据积分中值定理，存在，使得只要给出计算的一种算法便相应地获得一种数值求积方法.举例：1个节点的数值积分公式——矩形求积公式：常取方法二：数值积分公式——左矩形求积公式——右矩形求积公式——中矩形求积公式f(x)abf(a)f(b)2个节点的数值积分公式-----梯形公式因此,我们想把被积函数用简单的插值多项式(第四章所学)替换，因为多项式函数是易于求积的。本章节要求解如下的积分问题：现在，若把被积函数替换成它的n阶拉格朗日插值多项式，可得作为积分的近拟值，这样

3、得到的求积公式即插值型求积公式。把插值多项式代入到的求积公式中，可得其中称为求积节点，而求积系数只有求积系数取为(5.3)时，此式才能称为插值型求积公式一般来说，的值不等于的精确值，它们的差称为求积公式(5.2)的余项，也叫截断误差。对于插值型求积公式(即求积系数由(5.3)确定)，其余项为代数精度：用以表示求积公式的误差。其中，与变量有关，且定义5.1如果求积公式(5.2)—对于一个不超过m次的多项式是准确的（）；而对于m+1以上的多项式是不准确的，则称求积公式(5.2)的代数精度为m.充分性，求积公式(5.2)

4、的代数精度至少为n，则它对于插值基函数是准确的，即有证明：必要性，若公式(5.2)是插值型求积公式，则余项故对于次数不超过n次的多项式，其余项故此时求积公式(5.2)的代数精度至少为n。定理5.1求积公式(5.2)是插值型求积公式的充要条件是：它的代数精度至少为n.由于上式右边实际上就等于，即成立，故(5.2)是插值型求积公式。欲使求积公式（5.2）具有m次代数精度，只要令都能精确成立，这就要求中的上下标.它对于注：这里省略了符号证(1)令代入求积公式(*)得，左边=1=右边.例5.1证明下面的求积公式具有3次代数

5、精度：(2)令代入求积公式（*）得，(3)令代入求积公式（*）得，左边右边左边右边(4)令代入求积公式（*）得，左边右边(5)令代入求积公式（*）得，左边右边故求积公式(*)只有三次精度下面讨论求积系数的计算，（为了方便）这里我们把积分区间剖分成等分，令步长并记则个节点分别表示为作变换代入求积系数公式(5.3)得牛顿-科茨公式(等距节点插值型)5.2几种常用的求积公式5.2.1梯形公式及其误差注：由余项公式知梯形公式只有1次代数精度利用牛顿-科茨公式，取即此时代入(5.6)得所以梯形公式为由插值余项公式(5.4)可

6、知梯形公式的误差为的近似值。例5.2利用梯度公式计算解由梯形公式(5.7)，即可得5.2.2辛普森公式及其误差利用牛顿-科茨公式，取即此时代入(5.6)得故辛普森公式为其中为区间[a,b]的中点。辛普森公式亦称抛物形公式辛普森公式(5.9)的误差为（在一定假设下）上式两边同时在[a,b]上求积,可得证明:假设在[a,b]上近似地取定值将在[a,b]的中点处泰勒展开另外，在上式中分别令和得代入辛普森公式(5.9)得再与的表达式(5.12)比较，有注：由余项公式辛普森公式有3次代数精度的近似值。例5.3利用辛普森公式计

7、算解由梯形公式(5.9)，即可得5.2.3科茨公式及其误差利用牛顿-科茨公式，取则于是求积节点为代入(5.6)得故科茨公式为科茨公式也称为布尔公式，可以证明，科茨公式的余项为注：由余项公式科茨公式有5次代数精度的近似值。例5.4利用科茨公式计算解由梯形公式(5.13)，即可得§5.3复化求积公式可知随着节点的增多（n的增大），有可能导致求积系数出现负数(当时，牛顿-科茨求积系数会出现负数)。另一方面从求积公式也可以看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数的光滑性要求也越高。由求积系数公式在实际应用往往不采用高

8、阶的牛顿-科茨公式，而是将积分区间分成若干个相等的小区间，在各小区间上采用低阶的求积公式（梯形公式或辛普森公式），然后利用积分的区间可加性，把各区间上的积分值加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。5.3.1复化梯形公式及其误差将积分区间剖分为等分，分点为其中在每个小区间上用梯形公式，则有记上式称为复化梯形公式，下标n表示将积分区间的等分数